Em cada parte, encontre todos os valores de x com os quais a série converge e encontre a soma da série com aqueles valores de x.
x-x^{3}+x^{5}-x^{7}+x^{9}-\cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
x - x^{3} + x^{5} - x^{7} + x^{9} - \cdots
determinando para quais valores de x ela converge e, nesses valores, encontrar a soma. O conteúdo envolvido é séries de potências e, em particular, o reconhecimento de uma série geométrica. Vamos precisar da condição de convergência e da fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos a série em forma de soma indexada. Observando os expoentes e os sinais, temos
x - x^{3} + x^{5} - x^{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,x^{2n+1} = x \sum_{n=0}^{\infty} \bigl(-x^{2}\bigr)^{n}.

Passo 3

A soma interna é uma série geométrica de razão
r = -x^{2}
e primeiro termo a = 1. Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} converge se, e só se, \lvert r\rvert<1. Aqui isso dá
\bigl\lvert -x^{2}\bigr\rvert < 1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x^{2}\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\rvert<1.
Nos extremos x = \pm1 a série vira 1 - 1 + 1 - \cdots (ou com sinal invertido), que não converge. Portanto a região de convergência é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid \lvert x\rvert<1\}.

Passo 4

Para \lvert x\rvert<1, a soma da série geométrica interna é
\sum_{n=0}^{\infty} \bigl(-x^{2}\bigr)^{n} = \frac{1}{1 - (-x^{2})} = \frac{1}{1 + x^{2}}.
Multiplicando por x, obtemos a soma da série dada:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+1} = x \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{x}{1 + x^{2}}.

Resposta

A série converge exatamente para \lvert x\rvert<1, e então
x - x^{3} + x^{5} - x^{7} + \cdots = \frac{x}{1 + x^{2}}.

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