Em cada parte, explicite a substituição trigonométrica que tentaríamos em primeiro lugar para calcular a integral. Não calcule a integral.
\int \sqrt{1-9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{1 - 9x^{2}}\,dx
Este tipo de integral envolve uma raiz da forma \sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}. A técnica padrão é usar uma substituição trigonométrica que transforme essa raiz num cosseno ou seno perfeito.

Passo 2

Para \sqrt{1 - 9x^{2}} tomamos
x = \frac{1}{3}\sin\theta, \quad dx = \frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta,
pois então
\sqrt{1 - 9x^{2}} = \sqrt{1 - 9\Bigl(\frac{1}{3}\sin\theta\Bigr)^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \cos\theta.

Resposta

A substituição trigonométrica a ser usada é
x = \frac{1}{3}\sin\theta.

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