1. Em cada parte, explicite a substituiçăo trigonométrica que tentaríamos em primeiro lugar para calcular a integral. Não calcule a integral.
    (a) \int \sqrt{9+x^{2}} d x \qquad
    (b) \int \sqrt{9-x^{2}} d x \qquad
    (c) \int \sqrt{1-9 x^{2}} d x \qquad
    (d) \int \sqrt{x^{2}-9} d x \qquad
    (e) \int \sqrt{9+3 x^{2}} d x \qquad
    (f) \int \sqrt{1+(9 x)^{2}} d x \qquad
  2. Em cada parte, determine a substituição u.
    (a) \int \frac{1}{x^{2}-2 x+10} d x=\int \frac{1}{u^{2}+3^{2}} d u; u=
    (b) \int \sqrt{x^{2}-6 x+8} d x=\int \sqrt{u^{2}-1} d u; u= \qquad
    (c) \int \sqrt{12-4 x-x^{2}} d x=\int \sqrt{4^{2}-u^{2}} d u; u= \qquad

Passo 1

Temos dois exercícios. No exercício 3, para cada integral da forma \displaystyle \int \sqrt{\dots}\,dx
precisamos indicar a substituição trigonométrica inicial que se usa normalmente (sem efetuar a integral). Isso envolve as três formas-padrão \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{a^2 - x^2} e \sqrt{x^2 - a^2}.
No exercício 4, cada integral já foi reescrita em termos de u, e precisamos descobrir a expressão de u em função de x. Isso exige completar o quadrado nos radicais ou denominadores originais.

Passo 2

Para o exercício 3 usamos as substituições-trigômetro-padrão:
  1. Para \sqrt{a^2 + x^2}, tomamos
x = a \tan(\theta),\quad dx = a\operatorname{sec}^2(\theta)\,d\theta.
  1. Para \sqrt{a^2 - x^2}, tomamos
x = a \sin(\theta),\quad dx = a\cos(\theta)\,d\theta.
  1. Para \sqrt{x^2 - a^2}, tomamos
x = a \operatorname{sec}(\theta),\quad dx = a\operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)\,d\theta.
Agora basta ajustar a e x em cada caso:
(a) \displaystyle \sqrt{9 + x^2}: aqui a^2 = 9, logo a=3.
Substituição:
x = 3\tan(\theta).
(b) \displaystyle \sqrt{9 - x^2}: aqui a^2 = 9, logo a=3.
Substituição:
x = 3\sin(\theta).
(c) \displaystyle \sqrt{1 - 9x^2}: escrevemos 1 - 9x^2 = 1 - (3x)^2, então a=1 e u=3x.
Substituição:
3x = \sin(\theta)\quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{1}{3}\sin(\theta).
(d) \displaystyle \sqrt{x^2 - 9}: aqui a^2 = 9, logo a=3.
Substituição:
x = 3\operatorname{sec}(\theta).
(e) \displaystyle \sqrt{9 + 3x^2}: fatoramos 9+3x^2 = 3(x^2+3) = 3\bigl(x^2 + (\sqrt3)^2\bigr).
Substituição:
x = \sqrt3 \tan(\theta).
(f) \displaystyle \sqrt{1 + (9x)^2} = \sqrt{1 + 81x^2}: aqui u=9x e a=1.
Substituição:
9x = \tan(\theta)\quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{1}{9}\tan(\theta).

Passo 3

Para o exercício 4 completamos o quadrado e lemos u:
(a) x^2 - 2x +10 = (x-1)^2 + 9.
Queremos \displaystyle \int \frac{1}{u^2+3^2}\,du, logo
u = x - 1.
(b) x^2 - 6x +8 = (x-3)^2 - 1.
Queremos \displaystyle \int \sqrt{u^2 - 1}\,du, logo
u = x - 3.
(c) 12 - 4x - x^2 = 16 - (x+2)^2.
Queremos \displaystyle \int \sqrt{4^2 - u^2}\,du, logo
u = x + 2.

Resposta

3(a) x = 3\tan(\theta)
3(b) x = 3\sin(\theta)
3(c) x = \tfrac{1}{3}\sin(\theta)
3(d) x = 3\operatorname{sec}(\theta)
3(e) x = \sqrt3 \tan(\theta)
3(f) x = \tfrac{1}{9}\tan(\theta) 4(a) u = x - 1
4(b) u = x - 3
4(c) u = x + 2

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