1. Se x=2 \operatorname{sec} \theta e 0<\theta<\pi / 2. então
    (a) \operatorname{sen} \theta= \qquad
    (b) \cos \theta= \qquad
    (c) \operatorname{tg} \theta= \qquad .

Passo 1

O enunciado diz que
x = 2\operatorname{sec}\theta\quad\text{e}\quad0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.
Queremos encontrar \operatorname{sen}\theta, \cos\theta e \operatorname{tg}\theta. Para isso, vamos usar a definição de secante e a ideia de montar um triângulo retângulo correspondente.

Passo 2

Da relação \operatorname{sec}\theta = \tfrac{x}{2} e sabendo que \operatorname{sec}\theta = \tfrac{1}{\cos\theta}, concluímos que
\cos\theta = \frac{2}{x}.

Passo 3

Para achar o cateto oposto, montamos um triângulo retângulo em que o cateto adjacente vale 2 e a hipotenusa vale x. O cateto oposto, pela Teorema de Pitágoras, é \sqrt{x^2 - 2^2} = \sqrt{x^2 - 4}.

Passo 4

Agora extraímos as demais razões trigonométricas no primeiro quadrante (onde tudo é positivo):
\operatorname{sen}\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x}, \qquad \operatorname{tg}\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{2}.

Resposta

(a) \operatorname{sen}\theta = \dfrac{\sqrt{x^2 - 4}}{x}
(b) \cos\theta = \dfrac{2}{x}
(c) \operatorname{tg}\theta = \dfrac{\sqrt{x^2 - 4}}{2}

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