Para cada uma das permutações abaixo, escreva sua decomposição cíclica e determine sua paridade.
\left(\begin{array}{llllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a permutação dada em notação biunívoca:
\left(\begin{array}{llllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right)
  • escrever a decomposição cíclica (isto é, representar a permutação como produto de ciclos disjuntos);
  • determinar a paridade da permutação (se é par ou ímpar).
As informações fornecidas que vamos usar (tiradas diretamente da notação do enunciado) são as imagens de cada elemento:
1\mapsto4,\quad 2\mapsto5,\quad 3\mapsto6,\quad 4\mapsto7,\quad 5\mapsto8,\quad 6\mapsto3,\quad 7\mapsto1,\quad 8\mapsto2.

Passo 2

Para começar, vou explicar como encontrar ciclos na prática (passo a passo): pega-se o menor elemento que ainda não foi colocado em nenhum ciclo, segue-se sua imagem pela permutação, depois a imagem dessa imagem, e assim por diante, até voltar ao elemento inicial — isso fecha um ciclo. Em notação, um ciclo que envia a em b, b em c, …, z em a é escrito (a\;b\;\dots\;z).
Vou aplicar esse método começando por 1. Usando os dados:
1\mapsto4.

Passo 3

Continuo o rastro a partir de 4:
4\mapsto7.
E a partir de 7:
7\mapsto1,
que retorna para o início. Portanto os elementos 1,4,7 formam um ciclo fechado. Escrevemos esse ciclo como
(1\;4\;7).
Isto significa 1\mapsto4,\;4\mapsto7,\;7\mapsto1.

Passo 4

Agora escolho o menor elemento que ainda não apareceu em nenhum ciclo: 2. Rastreando:
2\mapsto5,\qquad 5\mapsto8,\qquad 8\mapsto2,
logo esses três formam o ciclo
(2\;5\;8).

Passo 5

Falta verificar 3 (os demais já estão em ciclos). Rastreando:
3\mapsto6,\qquad 6\mapsto3,
o que fecha um ciclo de dois elementos:
(3\;6).

Passo 6

Assim obtemos a decomposição em ciclos disjuntos que cobre todos os elementos:
(1\;4\;7)(2\;5\;8)(3\;6).
Observação: ciclos disjuntos comutam, então a ordem entre esses três ciclos não importa.

Passo 7

Agora a paridade. Vou explicar o conceito: a paridade de uma permutação é se ela pode ser escrita como produto de um número par ou ímpar de transposições (transposição = troca de dois elementos). Um fato muito útil é que um ciclo de comprimento k pode ser escrito como produto de k-1 transposições. Por exemplo,
(a\;b\;c)=(a\;c)(a\;b),
que usa 2 transposições (porque 3-1=2).
Portanto, se a permutação é produto de ciclos disjuntos cujos comprimentos são k_1,k_2,\dots,k_m, então o número total de transposições necessário é
(k_1-1)+(k_2-1)+\cdots+(k_m-1).
Outra forma breve de ver isso é que esse total é igual a n - (número de ciclos), onde n é o número de elementos (aqui n=8).

Passo 8

Aplico a conta aos nossos ciclos, cujos comprimentos são 3,3,2. O número de transposições equivalente é
(3-1)+(3-1)+(2-1)=2+2+1=5.
Como 5 é ímpar, a permutação é ímpar.
Também dá para escrever explicitamente cada ciclo como transposições, por exemplo:
(1\;4\;7)=(1\;7)(1\;4),\qquad (2\;5\;8)=(2\;8)(2\;5),\qquad (3\;6)=(3\;6),
e contando essas transposições vê-se novamente 2+2+1=5.

Resposta

(1\;4\;7)(2\;5\;8)(3\;6)
ímpar

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