Para cada uma das permutações abaixo, escreva sua decomposição cíclica e determine sua paridade.
\left(\begin{array}{llllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 3 & 5 & 8 & 7 & 2 & 6 & 4 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: escrever a decomposição cíclica da permutação dada e determinar sua paridade. A permutação fornecida, em notação de duas linhas, é
\left(\begin{array}{llllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 3 & 5 & 8 & 7 & 2 & 6 & 4 & 1 \end{array}\right).
Das duas linhas extraem-se explicitamente as imagens de cada elemento:
1\mapsto3,\quad 2\mapsto5,\quad 3\mapsto8,\quad 4\mapsto7,\quad 5\mapsto2,\quad 6\mapsto6,\quad 7\mapsto4,\quad 8\mapsto1.
As perguntas são:
  • Escrever a decomposição desta permutação em ciclos disjuntos.
  • Determinar a paridade (par ou ímpar) dessa permutação.

Passo 2

Como fazer a decomposição em ciclos (regra prática):
  • Começa-se pelo menor elemento não ainda incluído em algum ciclo.
  • Segue-se a cadeia aplicando a permutação até voltar ao elemento inicial; isso dá um ciclo.
  • Repete-se com o próximo menor elemento não usado, até cobrir todos os elementos.
    Observação: pontos fixos (elementos que vão em si mesmos) podem ser escritos como ciclos de comprimento um, mas geralmente são omitidos.
Aplicando isso a partir de 1:
1 \mapsto 3,\quad 3 \mapsto 8,\quad 8 \mapsto 1,
portanto obtemos o ciclo (1\\\ 3\\\ 8).

Passo 3

Continuando com o menor elemento não usado, que é 2:
2 \mapsto 5,\quad 5 \mapsto 2,
logo temos o ciclo (2\\\ 5).
O próximo não usado é 4:
4 \mapsto 7,\quad 7 \mapsto 4,
logo o ciclo (4\\\ 7).
O elemento 6 satisfaz 6\mapsto6, ou seja, é ponto fixo (ciclo trivial). Podemos omiti-lo na escrita dos ciclos disjuntos.
Então, escrevendo os ciclos disjuntos obtidos:
(1\\\ 3\\\ 8),\quad (2\\\ 5),\quad (4\\\ 7)
ou, como produto de ciclos disjuntos,
(1\\\ 3\\\ 8)(2\\\ 5)(4\\\ 7).

Passo 4

Agora, como determinar a paridade de uma permutação (explicação didática):
  • Toda permutação pode ser escrita como produto de transposições (transposição = ciclo de comprimento 2).
  • Um ciclo de comprimento k pode ser decomposto em k-1 transposições. Uma fórmula explícita:
(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) = (a_1\\ a_k)(a_1\\ a_{k-1})\cdots(a_1\\ a_2).
  • A paridade da permutação é “par” se o número total de transposições na decomposição for par; é “ímpar” se esse número for ímpar.
    Portanto, para calcular a paridade basta somar, para cada ciclo de comprimento k, o valor k-1, e ver se essa soma é par ou ímpar.

Passo 5

Aplicando a regra aos nossos ciclos:
  • O ciclo (1\\\ 3\\\ 8) tem comprimento k=3, contribui com k-1=2 transposições.
  • Cada ciclo (2\\\ 5) e (4\\\ 7) tem comprimento k=2, cada um contribui com k-1=1 transposição.
  • O ponto fixo 6 tem k=1 e contribui com k-1=0.
Somando as contribuições:
2 + 1 + 1 + 0 = 4.
O número total de transposições necessárias para escrever a permutação é 4.

Resposta

(1\\\ 3\\\ 8)(2\\\ 5)(4\\\ 7)
paridade: par

Exercícios relacionados