O enunciado pede duas coisas: escrever a decomposição cíclica da permutação dada e determinar sua paridade. A permutação fornecida, em notação de duas linhas, é
Escrever a decomposição desta permutação em ciclos disjuntos.
Determinar a paridade (par ou ímpar) dessa permutação.
Passo 2
Como fazer a decomposição em ciclos (regra prática):
Começa-se pelo menor elemento não ainda incluído em algum ciclo.
Segue-se a cadeia aplicando a permutação até voltar ao elemento inicial; isso dá um ciclo.
Repete-se com o próximo menor elemento não usado, até cobrir todos os elementos.
Observação: pontos fixos (elementos que vão em si mesmos) podem ser escritos como ciclos de comprimento um, mas geralmente são omitidos.
Aplicando isso a partir de 1:
1 \mapsto 3,\quad 3 \mapsto 8,\quad 8 \mapsto 1,
portanto obtemos o ciclo (1\\\ 3\\\ 8).
Passo 3
Continuando com o menor elemento não usado, que é 2:
2 \mapsto 5,\quad 5 \mapsto 2,
logo temos o ciclo (2\\\ 5).
O próximo não usado é 4:
4 \mapsto 7,\quad 7 \mapsto 4,
logo o ciclo (4\\\ 7).
O elemento 6 satisfaz 6\mapsto6, ou seja, é ponto fixo (ciclo trivial). Podemos omiti-lo na escrita dos ciclos disjuntos.
Então, escrevendo os ciclos disjuntos obtidos:
(1\\\ 3\\\ 8),\quad (2\\\ 5),\quad (4\\\ 7)
ou, como produto de ciclos disjuntos,
(1\\\ 3\\\ 8)(2\\\ 5)(4\\\ 7).
Passo 4
Agora, como determinar a paridade de uma permutação (explicação didática):
Toda permutação pode ser escrita como produto de transposições (transposição = ciclo de comprimento 2).
Um ciclo de comprimento k pode ser decomposto em k-1 transposições. Uma fórmula explícita:
A paridade da permutação é “par” se o número total de transposições na decomposição for par; é “ímpar” se esse número for ímpar.
Portanto, para calcular a paridade basta somar, para cada ciclo de comprimento k, o valor k-1, e ver se essa soma é par ou ímpar.
Passo 5
Aplicando a regra aos nossos ciclos:
O ciclo (1\\\ 3\\\ 8) tem comprimento k=3, contribui com k-1=2 transposições.
Cada ciclo (2\\\ 5) e (4\\\ 7) tem comprimento k=2, cada um contribui com k-1=1 transposição.
O ponto fixo 6 tem k=1 e contribui com k-1=0.
Somando as contribuições:
2 + 1 + 1 + 0 = 4.
O número total de transposições necessárias para escrever a permutação é 4.