Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Escrevendo em notação matemática temos:
Perguntas claras:
- Encontrar a solução geral (de forma explícita, se possível) da equação diferencial.
- Encontrar a solução que satisfaz o problema de valor inicial
.
Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita como uma forma diferencial
com e . - Há uma condição inicial
.
Passo 2
Observação sobre método: vamos tentar separar variáveis ou manipular a equação para que a integração seja direta. É comum, quando se tem um produto do tipo
, multiplicar por algum fator que torne as partes separáveis. Note que se multiplicarmos a equação por
obtemos termos mais simples:
Essa nova forma permite separar as variáveis como soma de duas integrais, uma em
e outra em
.
Passo 3
Separando e integrando: escrevemos
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simples; a do lado direito requer integração por partes.
Fórmulas usadas:
- Para o lado esquerdo,
. Aqui é a variável de integração e o resultado é a primitiva padrão. - Para o lado direito, usaremos integração por partes: se
. Escolhemos e .
Calcule a integral do lado direito:
Passo 4
Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma só constante
):
Desenvolvendo o sinal:
Multiplicando por
e reescrevendo a constante genérica ainda como
, obtemos a solução geral implícita/ explícita em quadrado:
Passo 5
Interpretação da constante
: a igualdade acima representa a família de curvas solução paramatrizada por
. Para obter a solução particular que satisfaça a condição inicial, usamos
.
Substitua
e
em
:
Passo 6
Escrevendo a solução particular com a constante encontrada:
Para obter a solução explícita em
, tomamos raiz quadrada. Há duas raízes (sinal ±), e a condição inicial determina o sinal. Como
, escolhemos a raiz positiva: