Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
7.3 x d x+y e^{-x} d y=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Escrevendo em notação matemática temos:
x\,dx + y e^{-x}\,dy = 0,\qquad y(0)=1.
Perguntas claras:
  1. Encontrar a solução geral (de forma explícita, se possível) da equação diferencial.
  2. Encontrar a solução que satisfaz o problema de valor inicial \,y(0)=1.
Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita como uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x e N(x,y)=y e^{-x}.
  • Há uma condição inicial y(0)=1.

Passo 2

Observação sobre método: vamos tentar separar variáveis ou manipular a equação para que a integração seja direta. É comum, quando se tem um produto do tipo y e^{-x}\,dy, multiplicar por algum fator que torne as partes separáveis. Note que se multiplicarmos a equação por e^{x} obtemos termos mais simples:
e^{x}\bigl(x\,dx + y e^{-x}\,dy\bigr)=0 \implies x e^{x}\,dx + y\,dy = 0.
Essa nova forma permite separar as variáveis como soma de duas integrais, uma em x e outra em y.

Passo 3

Separando e integrando: escrevemos
y\,dy = - x e^{x}\,dx.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simples; a do lado direito requer integração por partes.
Fórmulas usadas:
  • Para o lado esquerdo, \displaystyle\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_1. Aqui \,y é a variável de integração e o resultado é a primitiva padrão.
  • Para o lado direito, usaremos integração por partes: se \displaystyle\int u\,dv=u v-\int v\,du. Escolhemos u=x e dv=e^{x}\,dx.
Calcule a integral do lado direito:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_2.

Passo 4

Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma só constante C):
\frac{y^{2}}{2} = -\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) + C.
Desenvolvendo o sinal:
\frac{y^{2}}{2} = -x e^{x} + e^{x} + C.
Multiplicando por 2 e reescrevendo a constante genérica ainda como C, obtemos a solução geral implícita/ explícita em quadrado:
y^{2} = 2e^{x}(1-x) + C.

Passo 5

Interpretação da constante C: a igualdade acima representa a família de curvas solução paramatrizada por C. Para obter a solução particular que satisfaça a condição inicial, usamos y(0)=1.
Substitua x=0 e y=1 em \,y^{2} = 2e^{x}(1-x) + C:
1^{2} = 2e^{0}(1-0) + C \implies 1 = 2\cdot 1 \cdot 1 + C \implies C = -1.

Passo 6

Escrevendo a solução particular com a constante encontrada:
y^{2} = 2e^{x}(1-x) - 1.
Para obter a solução explícita em y, tomamos raiz quadrada. Há duas raízes (sinal ±), e a condição inicial determina o sinal. Como y(0)=1>0, escolhemos a raiz positiva:
y(x) = \sqrt{\,2e^{x}(1-x) - 1\,}.

Resposta

y^{2}=2e^{x}(1-x)+C
y(x)=\sqrt{\,2e^{x}(1-x)-1\,}

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