Sabendo que y_{1}(x)=1 / x é uma solução particular da EDO seguinte,
\frac{d y}{d x}-y^{2}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 ; x>0,
encontre a solução geral desta equação.
Resposta: y=\frac{1}{x}+\frac{2 x}{c-x^{2}}

  1. { }^{2} Esse método de solução foi encontrado por Gottfried Leibniz em 1696.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e uma solução particular. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Temos a EDO
\frac{d y}{d x}-y^{2}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0,\qquad x>0,
e é dada a solução particular
y_{1}(x)=\frac{1}{x}.
O que o problema pede: encontrar a solução geral desta equação (isto é, a família de soluções que contém a solução particular dada e depende de uma constante arbitrária).

Passo 2

Estratégia de substituição (motivação e definição). Quando conhecemos uma solução particular \,y_{1}(x)\, de uma equação do tipo Riccati (não precisa memorizar nome agora), existe uma substituição que transforma a EDO não linear numa EDO linear de primeira ordem. Essa substituição é:
y(x)=y_{1}(x)+\frac{1}{u(x)},
onde u(x) é a função nova que vamos determinar. Aqui u(x) é uma função desconhecida que depende de x; a ideia é que inserir essa forma na equação permitirá reduzir a ordem da não linearidade.
No nosso caso, usando y_{1}(x)=\dfrac{1}{x}, definimos
y(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{u(x)}.

Passo 3

Calcular derivadas e substituí-las na EDO (passo-a-passo algebraico). Primeiro calculemos dy/dx em termos de u e du/dx.
Derivando y:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\!\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{u}\right)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{u^{2}}\frac{d u}{d x}.
Também precisamos de y^{2} e de \dfrac{y}{x}. Calculamos:
y^{2}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{u}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{xu}+\frac{1}{u^{2}},
\frac{y}{x}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{u}\right)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xu}.
Agora substituímos \dfrac{d y}{d x}, y^{2} e \dfrac{y}{x} na EDO
\frac{d y}{d x}-y^{2}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0.
Substituindo e agrupando termos obtemos
\left(-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{u^{2}}\frac{d u}{d x}\right) -\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{xu}+\frac{1}{u^{2}}\right) +\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xu}\right) +\frac{1}{x^{2}}=0.
Agora somamos termo a termo. Observe que os termos em \dfrac{1}{x^{2}} se cancelam:
-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=0.
Restam os termos com u:
-\frac{1}{u^{2}}\frac{d u}{d x}-\frac{1}{u^{2}}-\frac{1}{xu}=0.

Passo 4

Simplificar a equação resultante e obter uma EDO linear para u. Multiplicamos a expressão por -u^{2} (válido enquanto u\neq0, caso que corresponde a uma solução particular diferente que pode ser tratada separadamente) para eliminar frações:
\frac{d u}{d x}+1+\frac{u}{x}=0.
Escrevendo na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d u}{d x}+\frac{1}{x}u=-1.
Aqui u=u(x) é a incógnita. Esta é uma EDO linear de primeira ordem, da forma \dfrac{du}{dx}+P(x)u=Q(x) com P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=-1.

Passo 5

Resolver a EDO linear por fator integrante. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln x)=x,
já que x>0. Multiplicamos a equação por x:
x\frac{d u}{d x}+u=-x.
O lado esquerdo é a derivada do produto x u, isto é,
\frac{d}{d x}(x u)=-x.
Integramos ambos os lados em x:
x u=\int -x\,dx=-\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária). Portanto
u(x)=\frac{-\dfrac{x^{2}}{2}+C}{x}=-\frac{x}{2}+\frac{C}{x}.

Passo 6

Voltar à variável original y e simplificar a expressão (nomeando a constante). Lembrando que y=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{u}, substituímos a expressão obtida para u. Temos
u(x)=-\frac{x}{2}+\frac{C}{x}=\frac{2C-x^{2}}{2x}.
Assim
\frac{1}{u(x)}=\frac{2x}{2C-x^{2}}.
Portanto a solução geral (com constante arbitrária C) é
y(x)=\frac{1}{x}+\frac{2x}{2C-x^{2}}.
Se quisermos escrever a constante de integração de maneira mais simples, basta definir c=2C (a constante continua arbitrária), obtendo a forma
y(x)=\frac{1}{x}+\frac{2x}{c-x^{2}},
que é a solução geral desejada.

Resposta

y=\frac{1}{x}+\frac{2x}{c-x^{2}}

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