Sabendo que
é uma solução particular da EDO seguinte,
encontre a solução geral desta equação.
Resposta:
-
Esse método de solução foi encontrado por Gottfried Leibniz em 1696.
Esse método de solução foi encontrado por Gottfried Leibniz em 1696.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e uma solução particular. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Temos a EDO
e é dada a solução particular
O que o problema pede: encontrar a solução geral desta equação (isto é, a família de soluções que contém a solução particular dada e depende de uma constante arbitrária).
Passo 2
Estratégia de substituição (motivação e definição). Quando conhecemos uma solução particular
de uma equação do tipo Riccati (não precisa memorizar nome agora), existe uma substituição que transforma a EDO não linear numa EDO linear de primeira ordem. Essa substituição é:
onde
é a função nova que vamos determinar. Aqui
é uma função desconhecida que depende de
; a ideia é que inserir essa forma na equação permitirá reduzir a ordem da não linearidade.
No nosso caso, usando
, definimos
Passo 3
Calcular derivadas e substituí-las na EDO (passo-a-passo algebraico). Primeiro calculemos
em termos de
e
.
Derivando
:
Também precisamos de
e de
. Calculamos:
Agora substituímos
,
e
na EDO
Substituindo e agrupando termos obtemos
Agora somamos termo a termo. Observe que os termos em
se cancelam:
Restam os termos com
:
Passo 4
Simplificar a equação resultante e obter uma EDO linear para
. Multiplicamos a expressão por
(válido enquanto
, caso que corresponde a uma solução particular diferente que pode ser tratada separadamente) para eliminar frações:
Escrevendo na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui
é a incógnita. Esta é uma EDO linear de primeira ordem, da forma
com
e
.
Passo 5
Resolver a EDO linear por fator integrante. O fator integrante
é
já que
. Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração (constante arbitrária). Portanto
Passo 6
Voltar à variável original
e simplificar a expressão (nomeando a constante). Lembrando que
, substituímos a expressão obtida para
. Temos
Assim
Portanto a solução geral (com constante arbitrária
) é
Se quisermos escrever a constante de integração de maneira mais simples, basta definir
(a constante continua arbitrária), obtendo a forma
que é a solução geral desejada.