(7.6) Em cada um dos Problemas abaixo, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais, descreva o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty, e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema.
a) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}
Não há outras condicionantes; precisamos resolver o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes e tratar o caso de autovalores complexos se aparecerem.]
Passo 2
Breve revisão do método que vamos usar (passo-a-passo e bem mastigado):
Para um sistema \mathbf{x}'=A\mathbf{x} procuramos autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0 e (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Se um autovalor \lambda=\alpha+i\beta (com \beta\neq0) tiver autovetor complexo \mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q} (com \mathbf{p},\mathbf{q} reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema são
A solução geral real será combinação linear dessas duas soluções reais.
O sinal de \alpha determina estabilidade: \alpha<0 dá decaimento exponencial (sistema tende ao 0), \alpha>0 dá crescimento, \alpha=0 dá comportamento oscilatório neutro.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao nosso A.
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de A. O traço de A é -1+(-1)=-2 e o determinante é
onde C_1,C_2 são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.
Observação prática para a prova: se te darem uma condição inicial \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0, basta avaliar \mathbf{\varphi}_1(0) e \mathbf{\varphi}_2(0) e resolver o sistema linear para C_1,C_2. Aqui \mathbf{\varphi}_1(0)=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} e \mathbf{\varphi}_2(0)=\begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix}.]
Passo 8
Comportamento quando t\to\infty:
Note que há um fator multiplicativo e^{\alpha t}=e^{-t} nas soluções, com \alpha=-1<0. Isso implica que a amplitude das oscilações decai exponencialmente.
As soluções oscilam com frequência angular \beta=2, ou seja período T=\dfrac{2\pi}{\beta}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto todas as soluções tendem para a origem quando t\to\infty: o ponto \mathbf{0} é um ponto de equilíbrio estável e as trajetórias são espirais que convergem para a origem — tecnicamente, um “espiral assintoticamente estável” ou “espiral atrator” (stable spiral).
Passo 9
Sentido da rotação (útil para desenhar o gráfico): tomar uma condição inicial simples e ver a direção do vetor velocidade. Por exemplo, escolha \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}. Isso corresponde a C_1=0,C_2=1 (pois \mathbf{x}(0)=C_1\mathbf{\varphi}_1(0)+C_2\mathbf{\varphi}_2(0)=C_1(0,1)^T+C_2(2,0)^T). Calcule
A partir de (2,0) o vetor velocidade aponta para (-2,2), isto é, a trajetória vai para cima (com y positivo). Começando no eixo x positivo, a órbita sobe — esse movimento indica rotação no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio). Então as espirais giram anti-horário enquanto decaem para a origem.]
Passo 10
Como fazer o gráfico de algumas trajetórias (instruções práticas para a prova e para você desenhar à mão):
As trajetórias são curvas espirais centradas na origem, com raios decrescendo como e^{-t} e com oscilações periódicas de período \pi.
Para traçar algumas trajetórias, escolha algumas condições iniciais \mathbf{x}(0), compute C_1,C_2 resolvendo
\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} corresponde a C_1=0,C_2=1. Trajetória: \mathbf{x}(t)=e^{-t}(2\cos2t,\;\sin2t)^T.
\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} corresponde a C_1=1,C_2=0. Trajetória: \mathbf{x}(t)=e^{-t}(-2\sin2t,\;\cos2t)^T.
\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} dá C_1=1,\;C_2=\tfrac{1}{2} (porque (1,1)^T=\tfrac12(2,0)^T+1(0,1)^T). Trajetória obtida substituindo esses C_i na fórmula geral.
Para desenhar: marque um conjunto de instantes t=0,\;t=\tfrac{\pi}{8},\;t=\tfrac{\pi}{4},\;t=\tfrac{\pi}{2},\dots calcule \mathbf{x}(t) e conecte os pontos com uma curva suave que perde amplitude (as voltas vão ficando menores). Lembre-se do sentido anti-horário.
Dica encorajadora: na prova, ao ver autovalores complexos, segue esse roteiro: achar \alpha,\beta,\mathbf{p},\mathbf{q} e escrever as duas soluções reais — é mecânico, dá certo e é rápido com prática.]
Resposta
Solução geral: \displaystyle \mathbf{x}(t)=C_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin 2t\\[4pt]\cos 2t\end{pmatrix}+C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos 2t\\[4pt]\sin 2t\end{pmatrix}.
Comportamento quando t\to\infty: todas as soluções tendem para a origem (\mathbf{x}(t)\to\mathbf{0}); o ponto \mathbf{0} é um espiral assintoticamente estável (decai exponencialmente com fator e^{-t} e oscila com frequência angular 2, período \pi).
Gráfico / forma das trajetórias: trajetórias são espirais decrescentes (spirais) girando no sentido anti-horário, por exemplo \mathbf{x}(t)=e^{-t}(2\cos 2t,\sin 2t)^T (condição inicial (2,0)) é uma dessas trajetórias.]