Calcular \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}-z\right) d s, onde C é a hélice circular dada por
\vec{r}(t)=\cos t \vec{i}+\operatorname{sen} t \vec{j}+t \vec{k}
, do ponto P(1,0,0) e Q(1,0,2 \pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}-z\right)\,ds,
onde C é a hélice circular dada por
\vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}+\sin t\,\vec{j}+t\,\vec{k},
do ponto P(1,0,0) até o ponto Q(1,0,2\pi).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\vec{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\bigr).
Os pontos P e Q correspondem a valores de t que ainda vamos identificar; o integrando é a função escalar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z. A integral é do tipo escalaresobre o comprimento de arco (ou seja, com ds).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada devagarinho):
Se uma curva C é parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b, e temos uma função escalar f(x,y,z), então a integral de f ao longo de C em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui:
  • f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) significa substituir x,y,z por x(t),y(t),z(t);
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| é a velocidade escalar (o fator que transforma dt em ds);
  • a e b são os valores de t que correspondem aos pontos inicial e final da curva.

Passo 3

Identificar os limites de integração (valores de t que correspondem a P e Q):
Verifico \vec{r}(0)=\bigl(\cos 0,\sin 0,0\bigr)=(1,0,0)=P.
Verifico \vec{r}(2\pi)=\bigl(\cos 2\pi,\sin 2\pi,2\pi\bigr)=(1,0,2\pi)=Q.
Portanto a parametrização vai de t=0 até t=2\pi. Logo a=0 e b=2\pi.

Passo 4

Calcular \vec{r}\,'(t) e seu comprimento:
Derivando componente a componente,
\vec{r}\,'(t)=(-\sin t)\,\vec{i}+(\cos t)\,\vec{j}+1\,\vec{k}.
O quadrado da norma é
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}=\sin^{2}t+\cos^{2}t+1.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, temos
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^{2}=1+1=2,
logo
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|=\sqrt{2}.
Observação: a velocidade é constante ao longo da hélice — isso deixa a integral mais simples.

Passo 5

Substituir a curva na função f:
Temos x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, z(t)=t. Assim
f\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=x(t)^{2}+y(t)^{2}-z(t)=\cos^{2}t+\sin^{2}t-t.
De novo usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, obtemos
f\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=1-t.

Passo 6

Montar a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}-z\right)\,ds=\int_{0}^{2\pi} \bigl(1-t\bigr)\,\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
Substituindo \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|=\sqrt{2},
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}-z\right)\,ds=\int_{0}^{2\pi} \bigl(1-t\bigr)\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi} (1-t)\,dt.

Passo 7

Calcular a integral por partes simples (na verdade uma integral direta):
Uma primitiva de 1-t é t-\dfrac{t^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{2\pi} (1-t)\,dt = \left[t-\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \left(2\pi-\frac{(2\pi)^{2}}{2}\right)-0.
Calculo interno:
(2\pi)^{2}=4\pi^{2},\qquad \frac{(2\pi)^{2}}{2}=\frac{4\pi^{2}}{2}=2\pi^{2}.
Portanto
\int_{0}^{2\pi} (1-t)\,dt = 2\pi-2\pi^{2}=2\bigl(\pi-\pi^{2}\bigr).
Multiplicando pelo fator constante \sqrt{2},
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}-z\right)\,ds = \sqrt{2}\cdot 2\bigl(\pi-\pi^{2}\bigr)=2\sqrt{2}\,\bigl(\pi-\pi^{2}\bigr).
Observação rápida e amiga: como \pi>1, o resultado é negativo; não tem problema — a função 1-t fica negativa para t>1 e domina a integral no intervalo.

Passo 8

Resumo final e forma alternativa de apresentar a resposta:
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}-z\right)\,ds = 2\sqrt{2}\,(\pi-\pi^{2}) = 2\sqrt{2}\,\pi(1-\pi).

Resposta

2\sqrt{2}\,(\pi-\pi^{2})

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