Para cada reta abaixo, determine se é paralela a algum eixo coordenado ( x, y, z ) ou a algum plano coordenado ( x y, x z, y z ):
u:\left\{\begin{array}{l}x=3 t \\\ y=-2 \\\ z=1+t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
u:\begin{cases} x=3t,\\\ y=-2,\\\ z=1+t \end{cases}
e pede para verificar se ela é paralela a algum eixo coordenado x, y ou z ou a algum dos planos coordenados xy, xz ou yz. O conteúdo envolve representação paramétrica de reta, vetor diretor e condições de paralelismo.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor da reta, que vem dos coeficientes de t em cada equação:
\vec d = (3,\,0,\,1).

Passo 3

Testamos se \vec d é paralelo a algum eixo coordenado. Uma reta é paralela ao eixo x se \vec d for múltiplo de (1,0,0), ao eixo y se for múltiplo de (0,1,0) e ao eixo z se for múltiplo de (0,0,1). Aqui:
\vec d=(3,0,1)
não é múltiplo de nenhum dos vetores (1,0,0), (0,1,0) ou (0,0,1). Logo, a reta não é paralela a nenhum eixo.

Passo 4

Testamos paralelismo a planos coordenados. Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano:
  1. Plano xy: normal (0,0,1).
    \vec d\cdot(0,0,1)=1\neq0 → não é paralelo a xy.
  2. Plano xz: normal (0,1,0).
    \vec d\cdot(0,1,0)=0 → é paralelo a xz.
  3. Plano yz: normal (1,0,0).
    \vec d\cdot(1,0,0)=3\neq0 → não é paralelo a yz.

Resposta

A reta u não é paralela a nenhum eixo coordenado e é paralela ao plano xz.

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