Para cada reta abaixo, determine se é paralela a algum eixo coordenado ( x, y, z ) ou a algum plano coordenado ( x y, x z, y z ):
v:(x, y, z)=(4,0,-3)+\lambda(2,0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
v:\;(x,y,z)=(4,0,-3)+\lambda(2,0,0)
e pede para determinar se ela é paralela a algum eixo coordenado x, y ou z ou a algum plano coordenado xy, xz ou yz. Vamos usar o vetor diretor e os critérios de paralelismo.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor \mathbf d=(2,0,0).
Uma reta é paralela a um eixo se seu vetor diretor for múltiplo escalar do vetor unitário ao longo desse eixo. Aqui
\mathbf d = 2\,(1,0,0)\,,
que é múltiplo de \mathbf e_x. Logo, a reta é paralela ao eixo x. Como não é múltiplo de (0,1,0) nem de (0,0,1), não é paralela aos eixos y ou z.

Passo 3

Para verificar o paralelismo com um plano, usamos que a reta é paralela ao plano se seu vetor diretor for ortogonal ao vetor normal desse plano. Os vetores normais são:
– ao plano xy: (0,0,1)
– ao plano xz: (0,1,0)
– ao plano yz: (1,0,0)

Passo 4

Calculamos os produtos escalares com \mathbf d=(2,0,0):
\mathbf d\cdot(0,0,1)=0, \quad \mathbf d\cdot(0,1,0)=0, \quad \mathbf d\cdot(1,0,0)=2\neq0.
Os dois primeiros resultados são zero, logo \mathbf d é ortogonal aos normais de xy e de xz, o que implica que a reta é paralela a esses planos. Como o último não é zero, não é paralela ao plano yz.

Resposta

A reta v é paralela ao eixo x e paralela aos planos xy e xz, mas não é paralela aos eixos y ou z nem ao plano yz.

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