Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
o. d²y/dt² + dy/dx + 4y = e^t - e^(-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. A equação dada é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para resolver isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução homogênea será:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea:
Como o lado direito é uma combinação de exponenciais, tentamos uma solução particular da forma:

Passo 5

Vamos derivar yp(t) para substituir na equação original:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Igualando os coeficientes das exponenciais:
Para e^t:
Para e^(-t):
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:

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