Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
i. d^2y/dt^2 + 2 dy/dt = 3 + 4 sen(2t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação não homogênea porque o lado direito não é zero. O conteúdo que vamos usar envolve resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso é mais simples porque o lado direito é zero. A gente assume uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Resolvendo para :
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. O lado direito é , então vamos supor que tem a forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :
E para o termo constante:
ã

Passo 9

Com e :
Então, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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