Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: focos 
  e 
  e comprimento do eixo conjugado igual a 24;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de uma hipérbole sabendo os focos 
  e 
 , e que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre hipérboles, como os focos, o centro, os eixos e as fórmulas relacionais entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos são 
  e 
 , a coordenada x é a mesma para ambos, então o centro estará na média das coordenadas y.
Calculando:
Portanto, o centro é 
 .
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de 
 , que é a distância do centro a cada foco. Como o centro está em 
  e um dos focos em 
 , a distância 
  é:
Então, 
 .
Passo 4
A hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Observando os focos, ambos têm a mesma coordenada x, mas coordenadas y diferentes, o que indica que a hipérbole é vertical.
Para uma hipérbole vertical, a equação geral é:
onde 
  é o centro, 
  é a distância do centro aos vértices, e 
  está relacionado ao eixo conjugado.
Passo 5
Sabemos que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para a hipérbole vertical, o comprimento do eixo conjugado é 
 . Então:
Assim, 
 .
Passo 6
Agora, precisamos encontrar 
 . Para isso, usamos a relação entre 
 , 
  e 
  em uma hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:
Portanto, 
 .
Passo 7
Com todos os valores encontrados, vamos montar a equação da hipérbole. Sabemos que o centro é 
 , 
  e 
 . Substituindo na fórmula geral:
Simplificando:
Resposta
A equação da hipérbole é: