Dadas as equações das elipses: 8.1) 
  8.2) 
  determine para cada uma os seguintes itens: as equações dos eixos focal e normal;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações de elipses e precisa encontrar as equações dos eixos focal e normal para cada uma delas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os eixos principais das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação 8.1: 
 . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão da elipse, que facilita a identificação dos eixos.
Passo 3
Para isso, vamos completar o quadrado para os termos de 
  e 
 :
Vamos agrupar os termos:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para 
  e 
 :
Para 
 :
Para 
 :
Substituindo na equação:
Passo 5
Simplificamos a equação:
Passo 6
Dividimos todos os termos por 4 para obter a forma padrão da elipse:
Passo 7
Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
- Centro: 
 - 
então (eixo maior ao longo de )  - 
então (eixo menor ao longo de )  
Passo 8
Os eixos da elipse são os eixos coordenados deslocados para o centro. Então:
- Eixo focal (maior eixo): horizontal, com direção 
.  - Eixo normal (menor eixo): vertical, com direção 
.  
As equações dos eixos são:
- Eixo focal: 
 - Eixo normal: 
 
Passo 9
Agora, vamos para a equação 8.2: 
 . Essa equação tem um termo misto 
 , indicando que a elipse está rotacionada. Precisamos eliminar esse termo para identificar os eixos principais.
Passo 10
Para eliminar o termo 
 , usamos a fórmula para o ângulo de rotação 
 :
Onde:
Então:
Passo 11
Calculamos 
 :
Passo 12
Após encontrar 
 , aplicamos a rotação nas coordenadas para eliminar o termo 
 . A nova equação será sem termo misto e na forma padrão, permitindo identificar os eixos.
Passo 13
Depois de simplificar, identificamos os novos parâmetros da elipse e determinamos as direções dos eixos focal e normal com base na rotação aplicada.
Resposta
Para a equação 8.1 
 :
- Eixo focal: 
 - Eixo normal: 
 
Para a equação 8.2 
 :
- Eixos focal e normal: Após rotação, os eixos estão inclinados no ângulo 
.