Para cada um dos seguintes operadores encontre, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3 x+3 y \\\ x+5 y\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad T\bigl(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}3x+3y\x+5y\end{pmatrix},
e pede todos os autovalores de T e uma base para cada autoespaço.
Para isso vamos:
1. Representar T pela sua matriz A na base canônica.
2. Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
3. Achar as raízes \lambda.
4. Para cada \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 e extrair uma base do núcleo.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}3 & 3 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 3 \\\\ 1 & 5-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(5-\lambda)-3\cdot1 =\lambda^2-8\lambda+12.

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2-8\lambda+12=0
usamos a fórmula de Bhaskara: o discriminante é
\Delta = (-8)^2 -4\cdot1\cdot12 =64-48=16,
logo
\lambda = \frac{8\pm\sqrt{16}}{2} = \frac{8\pm4}{2},
o que dá os autovalores
\lambda_1=6 e \lambda_2=2.

Passo 4

Para \lambda_1=6 calculamos
A - 6I = \begin{pmatrix}3-6 & 3 \\\\ 1 & 5-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 3 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo
(A-6I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 dá o sistema
-3x+3y=0,\quad x-y=0,
ambos equivalentes a x=y.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_1=6 é
\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} e uma base é
\{\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\}.

Passo 5

Para \lambda_2=2 calculamos
A - 2I = \begin{pmatrix}3-2 & 3 \\\\ 1 & 5-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
Resolvendo
(A-2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0
x+3y=0,
ou seja x=-3y.
Logo o autoespaço associado a \lambda_2=2 é
\{(-3y,y)\mid y\in\mathbb{R}\} e uma base é
\{\,\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix}\}.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1=6 e \lambda_2=2.
Uma base para o autoespaço de \lambda_1=6 é
\{(1,1)\}
e para o autoespaço de \lambda_2=2 é
\{(-3,1)\}.

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