Para cada um dos seguintes operadores encontre, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3 x+3 y \\\ x+5 y\end{array}\right]
e pede todos os autovalores de T e uma base para cada autoespaço.
Para isso vamos: 1. Representar T pela sua matriz A na base canônica. 2. Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). 3. Achar as raízes \lambda. 4. Para cada \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 e extrair uma base do núcleo.
Resolvendo (A-6I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 dá o sistema
-3x+3y=0,\quad x-y=0,
ambos equivalentes a x=y.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_1=6 é \{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} e uma base é \{\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\}.