Para cada um dos seguintes operadores encontre, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}-x-2 y \\\\ 2 x+3 y \\\ x+5 z\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os autovalores de T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e, para cada autovalor, uma base do respectivo autoespaço. O conteúdo usado será: representação matricial de T, cálculo do polinômio característico \det(A-\lambda I) e solução de sistemas lineares (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos escrever T na base canônica. A matriz associada é
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I).

Passo 3

Calculemos \chi(\lambda):
\chi(\lambda) =\det\!\begin{pmatrix} -1-\lambda & -2 & 0\\\\ 2 & 3-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & 5-\lambda \end{pmatrix} =(5-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\\ 2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Dentro do determinante menor:
(-1-\lambda)(3-\lambda)-(-2)\cdot2 =\bigl(\lambda^2-2\lambda-3\bigr)+4 =\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Logo
\chi(\lambda)=(5-\lambda)(\lambda-1)^2.
Os autovalores são \lambda_1=5 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda_2=1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Para \lambda=5\), resolvemos \[(A-5I)v=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -6x-2y=0,\\\\ 2x-2y=0,\\\ x=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=y\]. Substituindo na primeira dá \(-6x-2x=0\Rightarrow x=0, logo y=0. A única liberdade é z, que fica livre. Assim o autoespaço é
E_5=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}
com base \{(0,0,1)\}.

Passo 5

Para \lambda=1\), resolvemos \[(A-I)v=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2x-2y=0,\\\\ 2x+2y=0,\\\ x+4z=0. \end{cases}
As duas primeiras dão y=-x\]. Da terceira vem \(x=-4z, então y=4z. Tomando z=t, obtemos vectores (-4t,4t,t)=t(-4,4,1). Logo
E_1=\{t(-4,4,1)\mid t\in\mathbb{R}\}
com base \{(-4,4,1)\}.

Resposta

Autovalores e bases dos autoespaços:
(a) \lambda=5, autoespaço E_5 com base \{(0,0,1)\}.
(b) \lambda=1, autoespaço E_1 com base \{(-4,4,1)\}.

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