Para cada um dos seguintes pares de bases ordenadas \mathcal{B} e \mathcal{C} do \mathbb{R}^{2}, encontre a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas em \mathcal{C} para as coordenadas em \mathcal{B}.
\mathcal{B}=\{(2,5),(-1,-3)\}e \mathcal{C}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\},

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base P que leva coordenadas em \mathcal{C}=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\} para coordenadas em \mathcal{B}=\{b_1,b_2\} com b_1=(2,5) e b_2=(-1,-3). Em geral, as colunas de P são as coordenadas de \mathbf e_1 e \mathbf e_2 na base \mathcal{B}.

Passo 2

Para achar [\mathbf e_1]_{\mathcal{B}}, escrevemos
\mathbf e_1 = a\,b_1 + b\,b_2,
isto é,
a\,(2,5) + b\,(-1,-3) = (1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2a - b = 1,\\\\ 5a - 3b = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo
2a - b = 1 \quad\text{e}\quad 5a - 3b = 0,
da primeira equação b = 2a - 1. Substituindo na segunda:
5a - 3(2a - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; 5a - 6a + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3,
logo b = 2\cdot3 - 1 = 5. Assim
[\mathbf e_1]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar [\mathbf e_2]_{\mathcal{B}}\), escrevemos \[\mathbf e_2 = a\,b_1 + b\,b_2,
isto é,
a\,(2,5) + b\,(-1,-3) = (0,1),
o que gera
\begin{cases} 2a - b = 0,\\\\ 5a - 3b = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem b = 2a\]. Substituindo na segunda: \[5a - 3(2a) = 1 \;\Longrightarrow\; 5a - 6a = 1 \;\Longrightarrow\; a = -1,\] logo \(b = 2\cdot(-1) = -2. Assim
[\mathbf e_2]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B} é
P = \bigl[\,[\mathbf e_1]_{\mathcal{B}}\;\;[\mathbf e_2]_{\mathcal{B}} \bigr] = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[6pt] 5 & -2\end{pmatrix}.]

Resposta

P_{\mathcal{C}\to\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[6pt] 5 & -2\end{pmatrix}.]

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