Para cada um dos seguintes pares de bases ordenadas \mathcal{B} e \mathcal{C} do \mathbb{R}^{2}, encontre a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas em \mathcal{C} para as coordenadas em \mathcal{B}. \mathcal{B}=\{(2,5),(-1,-3)\}e \mathcal{C}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\},
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base P que leva coordenadas em \mathcal{C}=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\} para coordenadas em \mathcal{B}=\{b_1,b_2\} com b_1=(2,5) e b_2=(-1,-3). Em geral, as colunas de P são as coordenadas de \mathbf e_1 e \mathbf e_2 na base \mathcal{B}.
Passo 2
Para achar [\mathbf e_1]_{\mathcal{B}}, escrevemos
Da primeira equação vem b = 2a\]. Substituindo na segunda:
\[5a - 3(2a) = 1 \;\Longrightarrow\; 5a - 6a = 1 \;\Longrightarrow\; a = -1,\]
logo \(b = 2\cdot(-1) = -2. Assim