Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
Escolher…
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente, e dizer qual teste confirma isso. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A presença de
torna a série alternante (sinais trocam de sinal). - O módulo do termo é
. - Para grandes
, tem comportamento parecido com . Vou usar isso na análise.
Passo 2
Vou testar primeiro convergência absoluta (isso é forte: se a série dos módulos converge, a série original converge). Defino a sequência dos módulos:
Uma boa comparação é com a série p
onde devo identificar
. Calculo o expoente equivalente:
Então a comparação natural é com a p-série
.
Explicação rápida do que é uma p-série: a série
converge exatamente quando
e diverge quando
. Aqui
, então a p-série
converge.
Passo 3
Uso o teste da comparação limite (limit comparison test). Vou calcular
Para simplificar, fatoro
dentro da raiz:
Substituindo na expressão de
obtém-se
Como
(aqui
), o teste da comparação limite diz que as duas séries
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
Passo 4
Já que
é uma p-série convergente (
), pela comparação limite a série dos módulos
também converge. Logo a série original converge absolutamente.
Breve explicação do que isso significa na prática: convergência absoluta é mais forte que convergência simples; portanto, se a série dos módulos converge, a série com sinais alternados necessariamente converge.
Passo 5
Resumo do método escolhido: usei o teste da comparação limite com a p-série
. Esse teste foi natural porque o termo geral tem comportamento assintótico
. Como a p-série correspondente converge (
), a série dada converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
Convergente (converge absolutamente). Teste: comparação limite com a p-série
(p =
).