Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[50]{n^{68}+1}} \quad Escolher…

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[50]{n^{68}+1}}
é convergente ou divergente, e dizer qual teste confirma isso. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n}}{(n^{68}+1)^{1/50}}.
  • A presença de (-1)^n torna a série alternante (sinais trocam de sinal).
  • O módulo do termo é a_n:=\dfrac{1}{(n^{68}+1)^{1/50}}>0.
  • Para grandes n, (n^{68}+1)^{1/50} tem comportamento parecido com n^{68/50}. Vou usar isso na análise.

Passo 2

Vou testar primeiro convergência absoluta (isso é forte: se a série dos módulos converge, a série original converge). Defino a sequência dos módulos:
a_n=\frac{1}{(n^{68}+1)^{1/50}}.
Uma boa comparação é com a série p
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{p}}
onde devo identificar p. Calculo o expoente equivalente:
\frac{68}{50}=\frac{34}{25}.
Então a comparação natural é com a p-série \sum 1/n^{34/25}.
Explicação rápida do que é uma p-série: a série \sum_{n=1}^\infty 1/n^{p} converge exatamente quando p>1 e diverge quando p\le 1. Aqui p=\tfrac{34}{25}>1, então a p-série \sum 1/n^{34/25} converge.

Passo 3

Uso o teste da comparação limite (limit comparison test). Vou calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\,1/n^{34/25}\,} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^{68}+1)^{1/50}}{1/n^{34/25}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{34/25}}{(n^{68}+1)^{1/50}}.
Para simplificar, fatoro n^{68} dentro da raiz:
(n^{68}+1)^{1/50}=n^{68/50}\left(1+\frac{1}{n^{68}}\right)^{1/50} =n^{34/25}\left(1+\frac{1}{n^{68}}\right)^{1/50}.
Substituindo na expressão de L obtém-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{34/25}}{n^{34/25}\left(1+\dfrac{1}{n^{68}}\right)^{1/50}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n^{68}}\right)^{1/50}}=1.
Como 0<L<\infty (aqui L=1), o teste da comparação limite diz que as duas séries \sum a_n e \sum 1/n^{34/25} têm o mesmo comportamento quanto à convergência.

Passo 4

Já que \sum 1/n^{34/25} é uma p-série convergente ( 34/25>1), pela comparação limite a série dos módulos \sum a_n também converge. Logo a série original converge absolutamente.
Breve explicação do que isso significa na prática: convergência absoluta é mais forte que convergência simples; portanto, se a série dos módulos converge, a série com sinais alternados necessariamente converge.

Passo 5

Resumo do método escolhido: usei o teste da comparação limite com a p-série \sum 1/n^{34/25}. Esse teste foi natural porque o termo geral tem comportamento assintótico n^{-34/25}. Como a p-série correspondente converge ( p>1), a série dada converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

Convergente (converge absolutamente). Teste: comparação limite com a p-série \sum 1/n^{34/25} (p = 34/25>1).

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