Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
Escolher…
Passo 1
O enunciado pede que se decida se a série
é convergente ou divergente, e que se explique qual teste pode ser usado para confirmar esse fato.
Informações dadas (explicitando a expressão do termo geral):
Informações dadas (explicitando a expressão do termo geral):
- O termo geral é
para .
Passo 2
Simplificar a expressão de dentro do seno. Calculemos a raiz:
Portanto o termo geral pode ser escrito de forma mais simples como
Passo 3
Ideia para decidir a convergência: comparar
com uma série conhecida. Para
grande temos
pequeno, e para argumentos pequenos vale a aproximação básica
ou seja
. Vou explicar rapidamente essa propriedade padrão: para
vale a desigualdade geométrica
e como
, pelo teorema do confronto obtemos
. Essa é a razão pela qual
e
são equivalentes quando
.
Passo 4
Aplique a equivalência ao nosso termo: defina
. Então
quando
, e
Como o limite é um número finito e não nulo (
), pelo teste da comparação limite (ou pelo teste da equivalência) a série
tem a mesma natureza da série
.
Passo 5
Analisar a série comparadora
. Esta é uma série
-série com
. Lembrando o critério da
-série:
converge se, e somente se,
. Aqui
, logo
diverge.
Pelo resultado do Passo 4, a série original tem a mesma natureza que a
-série divergente, portanto a série original também diverge.
Passo 6
Resumo do teste usado: teste da comparação limite (ou teste da equivalência) com a série
; usa-se também o fato padrão
e o critério da
-série.
Resposta
Divergente — pelo teste da comparação limite (equivalência) com
, que é uma
-série com
e diverge.