Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt[50]{n^{25}}}\right) Escolher…

Passo 1

O enunciado pede que se decida se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{\sqrt[50]{n^{25}}}\right)
é convergente ou divergente, e que se explique qual teste pode ser usado para confirmar esse fato.
Informações dadas (explicitando a expressão do termo geral):
  • O termo geral é \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt[50]{n^{25}}}\right) para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Simplificar a expressão de dentro do seno. Calculemos a raiz:
\sqrt[50]{n^{25}}=n^{25/50}=n^{1/2}=\sqrt{n}.
Portanto o termo geral pode ser escrito de forma mais simples como
a_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).

Passo 3

Ideia para decidir a convergência: comparar a_n com uma série conhecida. Para n grande temos \dfrac{1}{\sqrt{n}} pequeno, e para argumentos pequenos vale a aproximação básica
\operatorname{sen}(x)\sim x\quad\text{quando }x\to 0,
ou seja \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1. Vou explicar rapidamente essa propriedade padrão: para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica
\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pelo teorema do confronto obtemos \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Essa é a razão pela qual \operatorname{sen}(x) e x são equivalentes quando x\to 0.

Passo 4

Aplique a equivalência ao nosso termo: defina t_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Então t_n\to 0 quando n\to\infty, e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{t_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(t_n)}{t_n} =\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Como o limite é um número finito e não nulo ( =1), pelo teste da comparação limite (ou pelo teste da equivalência) a série \sum a_n tem a mesma natureza da série \sum t_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 5

Analisar a série comparadora \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}. Esta é uma série p-série com p=\tfrac{1}{2}. Lembrando o critério da p-série: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge.
Pelo resultado do Passo 4, a série original tem a mesma natureza que a p-série divergente, portanto a série original também diverge.

Passo 6

Resumo do teste usado: teste da comparação limite (ou teste da equivalência) com a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}; usa-se também o fato padrão \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1 e o critério da p-série.

Resposta

Divergente — pelo teste da comparação limite (equivalência) com \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}, que é uma p-série com p=\tfrac{1}{2} e diverge.

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