Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n} \quad Escolher \ldots
e pede para decidir se ela é convergente ou divergente e indicar qual teste confirma esse fato. Informação importante extraída do enunciado:
O termo geral é \displaystyle a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n}.
É preciso verificar comportamento de (a_n) quando n\to\infty e escolher um teste apropriado.
Passo 2
Estratégia: para séries, um teste básico e obrigatório é o teste do termo geral (teste da divergência), que diz: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge. Portanto, primeiro vou calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n. Se esse limite for diferente de zero, já tenho a conclusão imediata.
Quando n\to\infty, x=1/n\to0. E \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 (pode-se ver por desenvolvimento em série, ou aplicar L’Hôpital: \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1). Logo