Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n} \quad Escolher \ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n}
e pede para decidir se ela é convergente ou divergente e indicar qual teste confirma esse fato. Informação importante extraída do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n}.
  • É preciso verificar comportamento de (a_n) quando n\to\infty e escolher um teste apropriado.

Passo 2

Estratégia: para séries, um teste básico e obrigatório é o teste do termo geral (teste da divergência), que diz: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge. Portanto, primeiro vou calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n. Se esse limite for diferente de zero, já tenho a conclusão imediata.

Passo 3

Reescrevo o termo geral de forma conveniente:
a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n}=\left(\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}\right)^{14 n}=\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{-14 n}.

Passo 4

Vou usar o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}=e.
Explicação didática do porquê desse limite (uma mini-aula rápida): considere a função f(x)=\ln(1+x). Então
n\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)=\frac{\ln(1+x)}{x}\Big|_{x=1/n}.
Quando n\to\infty, x=1/n\to0. E \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 (pode-se ver por desenvolvimento em série, ou aplicar L’Hôpital: \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1). Logo
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)=1,
o que implica
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}=e^{1}=e.

Passo 5

A partir disso, calculo o limite pedido:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{-14 n} =\biggl(\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\biggr)^{-14}=e^{-14}.
Observação: e^{-14} é um número positivo e distinto de zero.

Passo 6

Aplicando o teste do termo geral (teste da divergência): como
\lim_{n\to\infty} a_n = e^{-14}\neq 0,
a condição necessária para convergência de uma série (que os termos tendam a zero) não é satisfeita. Portanto a série diverge.

Resposta

A série é divergente — pelo teste do termo geral, pois \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{14 n}=e^{-14}\neq0.

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