Seja a_{n}=\frac{3}{n \cdot[\ln (n)]^{b^{2}+6 b+9}}. Qual dos seguintes é o conjunto dos valores de b para quais a série \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} é convergente?
Escolha uma opção:
◯ a. (-\infty,-4] \cup[-2, \infty)
◯ b. [5,6]
◯ c. (-\infty, 5] \cup[6, \infty)
◯ d. (-\infty,-4) \cup(-2, \infty)
◯ e. (-4,-2)
◯ f. (5,6)
◯ g. [-4,-2]
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3}{n\cdot[\ln(n)]^{\,b^{2}+6b+9}}
e pede: determinar o conjunto dos valores de b para os quais a série \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
O expoente do log é b^{2}+6b+9.
A soma é a partir de n=2 até infinito.
A constante 3 no numerador não altera a convergência (apenas escala a série).
Passo 2
Simplifico o expoente: observe que
b^{2}+6b+9=(b+3)^{2}.
Defino
p=(b+3)^{2}\ge 0,
então podemos escrever
a_{n}=\frac{3}{n\,[\ln(n)]^{p}}.
Como o fator 3 não muda convergência, a série \sum a_n converge ou diverge exatamente como a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n[\ln(n)]^{p}}.
Logo o problema reduz-se a: para quais p\ge 0 a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} converge?
Passo 3
Vou estudar a série usando o Teste da Integral. Expliquei o teste: se f:(2,\infty)\to(0,\infty) é contínua, positiva e monotona decrescente, então \sum_{n=2}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Escolho
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{p}},\qquad x\ge 2.
Essa função é positiva e, para x suficientemente grande (por exemplo x>e), é decrescente; portanto o Teste da Integral é aplicável.
Calculo a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{p}}.
Faço a substituição \,u=\ln x. Então \,du=\dfrac{dx}{x} e quando x=2 tem u=\ln 2, quando x\to\infty tem u\to\infty. A integral fica
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-p}\,du.
Agora avalio essa integral conforme p:
Se p\neq 1, um primitivo de u^{-p} é \dfrac{u^{1-p}}{1-p}. Então