Seja a_{n}=\frac{3}{n \cdot[\ln (n)]^{b^{2}+6 b+9}}. Qual dos seguintes é o conjunto dos valores de b para quais a série \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} é convergente?
Escolha uma opção:
◯ a. (-\infty,-4] \cup[-2, \infty)
◯ b. [5,6]
◯ c. (-\infty, 5] \cup[6, \infty)
◯ d. (-\infty,-4) \cup(-2, \infty)
◯ e. (-4,-2)
◯ f. (5,6)
◯ g. [-4,-2]

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3}{n\cdot[\ln(n)]^{\,b^{2}+6b+9}}
e pede: determinar o conjunto dos valores de b para os quais a série \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O expoente do log é b^{2}+6b+9.
  • A soma é a partir de n=2 até infinito.
  • A constante 3 no numerador não altera a convergência (apenas escala a série).

Passo 2

Simplifico o expoente: observe que
b^{2}+6b+9=(b+3)^{2}.
Defino
p=(b+3)^{2}\ge 0,
então podemos escrever
a_{n}=\frac{3}{n\,[\ln(n)]^{p}}.
Como o fator 3 não muda convergência, a série \sum a_n converge ou diverge exatamente como a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n[\ln(n)]^{p}}.
Logo o problema reduz-se a: para quais p\ge 0 a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} converge?

Passo 3

Vou estudar a série usando o Teste da Integral. Expliquei o teste: se f:(2,\infty)\to(0,\infty) é contínua, positiva e monotona decrescente, então \sum_{n=2}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Escolho
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{p}},\qquad x\ge 2.
Essa função é positiva e, para x suficientemente grande (por exemplo x>e), é decrescente; portanto o Teste da Integral é aplicável.
Calculo a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{p}}.
Faço a substituição \,u=\ln x. Então \,du=\dfrac{dx}{x} e quando x=2 tem u=\ln 2, quando x\to\infty tem u\to\infty. A integral fica
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-p}\,du.
Agora avalio essa integral conforme p:
  • Se p\neq 1, um primitivo de u^{-p} é \dfrac{u^{1-p}}{1-p}. Então
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-p}\,du=\lim_{R\to\infty}\frac{u^{1-p}}{1-p}\Big|_{u=\ln 2}^{u=R}.
Esse limite converge se, e somente se, o expoente 1-p for negativo, ou seja se 1-p<0, o que equivale a p>1.
  • Se p=1, a integral é
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u},
que diverge (é a integral harmônica logarítmica).
Portanto, pela integral, a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} converge se, e somente se, p>1. Para p\le 1 diverge.

Passo 4

Voltando a p=(b+3)^{2}, a condição de convergência é
(b+3)^{2}>1.
Resolvendo essa desigualdade:
|b+3|>1\quad\Longrightarrow\quad b+3>1\\ \text{ ou }\\ b+3<-1.
Isso dá
b>-2\quad\text{ou}\quad b<-4.
Os casos b=-2 e b=-4 dão (b+3)^{2}=1 (isto é p=1), que correspondem à divergência, então esses pontos não são incluídos.

Passo 5

Concluo que o conjunto dos valores de b para os quais a série converge é
(-\infty,-4)\cup(-2,\infty).
Comparando com as opções dadas, essa é a opção d.

Resposta

d. (- \infty,-4)\cup(-2,\infty)

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