Para cada um dos seguintes subconjuntos A \subset \mathbb{R} ache \operatorname{int}(A), \bar{A}, \operatorname{int}(\bar{A}) e \overline{\operatorname{int}(A)} :
d) A=] 0,1] \cup\left\{\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\right\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A = ]0,1] \cup \left\{\tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},\tfrac{4}{5},\ldots\right\}.
As tarefas pedidas são achar, para este A, os conjuntos: \operatorname{int}(A), \overline{A}, \operatorname{int}(\overline{A}) e \overline{\operatorname{int}(A)}.
Lista das informações relevantes dadas: \;]-0,1] é o intervalo aberto à esquerda e fechado em 1; os pontos \tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},\tfrac{4}{5},\ldots são pontos isolados indicados no enunciado (mas podem pertencer já ao intervalo).
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Primeiro vou simplificar o conjunto A. Observe que cada termo da sequência \tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},\tfrac{4}{5},\ldots pertence ao intervalo ]0,1[ (por exemplo \tfrac{k}{k+1}\in(0,1) para k\ge2). Portanto cada um desses pontos já está contido em ]0,1]. Logo a união não adiciona novos pontos:
A = ]0,1] \cup \left\{\tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},\ldots\right\} = ]0,1].
Então podemos trabalhar com A = ]0,1].
Passo 3
Definição (aula curta): \operatorname{int}(A) é o maior subconjunto aberto de \mathbb{R} contido em A. Equivalentemente, x\in\operatorname{int}(A) se existe um intervalo aberto centrado em x totalmente contido em A.
Agora verifico quais pontos de A=]0,1] têm essa propriedade.
Se x\in(0,1), posso escolher um raio r>0 pequeno tal que x-r>0 e x+r<1. Por exemplo, tomarr=\min\{x,\;1-x\}/2garante (x-r,x+r)\subset (0,1)\subset A. Assim todo x\in(0,1) é ponto interior de A.
O ponto 1 não é interior, porque qualquer intervalo aberto em 1 contém pontos maiores que 1, e esses não pertencem a A. Logo 1\notin\operatorname{int}(A).
Portanto
\operatorname{int}(A)=]0,1[.
Passo 4
Definição (aula curta): \overline{A} é a menor fechado que contém A; também é o conjunto dos pontos aderentes (os pontos x tais que toda vizinhança de x intersecta A).
Com A=]0,1]:
Todo ponto x\in(0,1] pertence claramente a \overline{A} porque x\in A.
O ponto 0 é aderente a A, pois qualquer intervalo (-\varepsilon,\varepsilon) em torno de 0 contém pontos positivos menores que \varepsilon, e esses pontos positivos pertencem a ]0,1]. Logo 0 é ponto limite de A e pertence a \overline{A}.
Não há pontos menores que 0 nem maiores que 1 que sejam aderentes: por exemplo, se x>1 basta tomar \varepsilon<x-1 para que (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não interseccione ]0,1]; se x<0 toma-se \varepsilon=-x/2 para isolar de A.
Assim os pontos aderentes são exatamente os do intervalo fechado [0,1]. Portanto
\overline{A}=[0,1].
Passo 5
Agora calculo \operatorname{int}(\overline{A})=\operatorname{int}([0,1]). Pelo mesmo raciocínio do Passo 3:
Todo x\in(0,1) tem uma pequena vizinhança contida em [0,1], logo pertence à interior.
Os extremos 0 e 1 não são pontos interiores de [0,1] porque qualquer vizinhança de 0 contém pontos negativos e qualquer vizinhança de 1 contém pontos maiores que 1, ambos fora de [0,1].
Portanto
\operatorname{int}(\overline{A})=]0,1[.
Passo 6
Finalmente calculo \overline{\operatorname{int}(A)}. Já determinei \operatorname{int}(A)=]0,1[. A aderência (fecho) de ]0,1[ é o intervalo fechado [0,1], porque 0 e 1 são pontos-limite da parte aberta e não existem outros pontos-limite fora de [0,1]. Logo