Para cada um dos seguintes subconjuntos A \subset \mathbb{R} ache \operatorname{int}(A), \bar{A}, \operatorname{int}(\bar{A}) e \overline{\operatorname{int}(A)} :
c) A=\{-1\} \cup\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\}
que a gente encontre os quatro conjuntos: \operatorname{int}(A), \overline{A}, \operatorname{int}(\overline{A}) e \overline{\operatorname{int}(A)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A é a união do ponto -1 com a sequência de pontos \frac{1}{n} para n=2,3,4,\dots.
Está implícito que estamos trabalhando com a topologia usual de \mathbb{R} (intervalos abertos).
Não há outras informações ou figuras; tudo que precisamos está na descrição de A.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar):
x\in\operatorname{int}(A) significa que existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está inteiro contido em A. Em palavras: um ponto é interior se tem uma vizinhança completamente dentro de A.
x\in\overline{A} (fecho de A) significa que toda vizinhança de x intercepta A. Equivalentemente, \overline{A}=A mais todos os pontos-limite (acumulación) de A.
Um ponto x é ponto-limite (acumulación) de A se qualquer vizinhança de x contém algum ponto de A diferente possivelmente de x (ou seja, há pontos de A arbitrariamente próximos a x).
Observação útil: em \mathbb{R} com a topologia usual, qualquer intervalo aberto contém muitos números (por exemplo, irracionais). Por isso, um conjunto composto só por pontos isolados (como um conjunto enumerável sem intervalos) normalmente não contém nenhum intervalo aberto.
Passo 3
Mostrando que nenhum ponto de A é interior, ou seja \operatorname{int}(A)=\varnothing.
Tomemos um ponto genérico x\in A. Se quiséssemos mostrar que x é interior, precisaríamos encontrar \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A.
Mas qualquer intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) contém números irracionais (fato: irracionais são densos em \mathbb{R}), e todos os elementos de A são números racionais específicos (-1 e os 1/n). Logo, esse intervalo sempre conterá algum número irracional que não pertence a A. Assim não existe \varepsilon>0 com (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A. Portanto nenhum x\in A é ponto interior.
Conclusão deste passo:
\operatorname{int}(A)=\varnothing.
Passo 4
Comentário didático sobre pontos isolados (para fixar a ideia):
Cada ponto 1/n é isolado no sentido de que existe uma pequena vizinhança que encontra A apenas naquele ponto (por exemplo metade da distância até o vizinho mais próximo). O mesmo vale para -1.
Esse fato de serem isolados não basta para serem pontos interiores, porque uma vizinhança de um ponto sempre contém outros reais (irracionais), então não fica totalmente dentro de A. Por isso pontos isolados em \mathbb{R} não são interiores.
Passo 5
Encontrando os pontos-limite (acumulación) de A para determinar \overline{A}.
A observação chave: a sequência \left(\frac{1}{n}\right)_{n\ge 2} tende a 0. Logo, qualquer vizinhança de 0 contém \frac{1}{n} para n suficientemente grande, ou seja, contém pontos de A distintos de 0. Assim 0 é um ponto-limite de A. Note que 0\notin A (não está listado em A), mas pertence ao fecho.
Agora mostramos que não há outros pontos-limite além de 0:
Se x>0 e x\notin\{1/n\}, então a função n\mapsto |x-1/n| tem um mínimo positivo (porque para n grandes 1/n fica pequeno e a diferença tende a x>0, e para n pequenos temos apenas um número finito de valores). Logo existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não contém nenhum 1/n; se x\neq-1 também não contém -1. Assim x não é ponto-limite.
Se x<0 e x\neq-1, escolha \varepsilon<|x+1|; então (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não contém -1 nem nenhum 1/n (estes são positivos), logo x não é ponto-limite.
O próprio -1 não é ponto-limite, porque existe \varepsilon pequeno (por exemplo \varepsilon=1/2) tal que ( -1-\varepsilon,-1+\varepsilon) não contém nenhum dos 1/n nem outro ponto de A além de -1. Logo -1 é isolado, não acumulacion.
Portanto o único ponto-limite (acumulação) de A é 0.
Passo 6
Fecho de A.
Pelo passo anterior, o fecho \overline{A} é a união de A com os seus pontos-limite. Como o único ponto-limite novo é 0, temos
A mesma razão do passo 3 vale agora: \overline{A} é um conjunto enumerável (contável) composto por pontos isolados mais o ponto 0. Em \mathbb{R} nenhum conjunto contável pode conter um intervalo aberto não trivial, porque um intervalo aberto contém irracionais que não estão na lista contável; portanto não existe intervalo aberto contido em \overline{A}.
Consequentemente,
\operatorname{int}(\overline{A})=\varnothing.
Passo 8
Calculando \overline{\operatorname{int}(A)}.
Do passo 3 temos \operatorname{int}(A)=\varnothing. O fecho do conjunto vazio é o próprio conjunto vazio:
Resumo final (ajuda para decorar): int é vazio porque não há intervalos; fecho acrescenta o ponto-limite 0; interior do fecho continua vazio; fecho do interior vazio é vazio.