Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x.
b. (2 + x^2) y'' - x y' + 4 y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e a gente vai resolver usando séries de potências em . Basicamente, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de termos com potências de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como substituí-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas e dessa série:
Essas derivadas serão usadas na nossa equação diferencial.

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo as séries:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices das séries para que todas estejam em termos de :
  1. Para , fazemos , então:
  1. A segunda parte já está em :
  1. As outras duas séries também estão em :

Passo 7

Vamos renomear de volta para na primeira série:

Passo 8

Agora, juntamos todas as séries em uma única soma:
Simplificando o termo do meio:

Passo 9

Para que a equação seja zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos as seguintes equações:
Para :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e :
Dado que , substituindo na série:
Dado que , usando a expressão de :

Passo 11

Com e , podemos calcular os demais coeficientes:
Para :
E assim por diante…

Resposta

A solução da equação diferencial, utilizando uma série de potências em , é:

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