Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x.
c. y'' + x y' + 2 y = 0, y(0) = 4, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e a gente precisa achar a solução dela usando séries de potências. Basicamente, vamos usar uma série em potências de para expressar e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação e as condições dadas. Para isso, vamos precisar lembrar como manipulamos séries de potências, calculamos derivadas e equacionamos os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo as séries:

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham potências de :
Para o termo de :
Para o termo :
(Note que ajustamos o índice para começar de )
E para o termo :

Passo 5

Agora, juntamos todas as somas e igualamos a zero:
Combinando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes:
Sabemos que , o que significa que .
E , que a partir da série de nos dá .

Passo 8

Vamos calcular os primeiros coeficientes usando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante, podemos continuar esse processo para obter mais coeficientes se necessário.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada pela série de potências:

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