Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar o teste usado. As informações dadas são o termo geral \dfrac{2}{5^{n}} para n=1,2,\dots.
Passo 2
Lembrete de definições (isso é importante para saber o que procurar):
Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de valores absolutos \sum |a_n| converge.
É condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
É divergente se \sum a_n não converge.
Aqui vamos aplicar o teste de série geométrica porque o termo tem a forma de uma potência.
Passo 3
Reconhecendo a série como geométrica: escrever o termo de forma explícita como potência.
Numa série geométrica geral podemos ter \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} com razão r. Aqui é mais conveniente identificar o primeiro termo e a razão reescrevendo como \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1}: note que
Portanto o primeiro termo é a=\dfrac{2}{5} e a razão é r=\dfrac{1}{5}.
Passo 4
Teste da série geométrica: uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui |r|=\left|\dfrac{1}{5}\right|=\dfrac{1}{5}<1, portanto a série converge.
Passo 5
Conclusão sobre convergência absoluta: os termos da série são todos positivos, então |a_n|=a_n e a série dos módulos é a mesma série original:
Como já vimos que essa série converge (por ser geométrica com |r|<1), segue que a série é absolutamente convergente. Se uma série é absolutamente convergente, ela converge (e portanto não é apenas condicional).
Passo 6
Cálculo do valor da soma (opcional, mas útil para fixar a ideia): a soma de \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1} é \dfrac{a}{1-r}. Usando a=\dfrac{2}{5} e r=\dfrac{1}{5},