Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar o teste usado. As informações dadas são o termo geral \dfrac{2}{5^{n}} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Lembrete de definições (isso é importante para saber o que procurar):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • É condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
  • É divergente se \sum a_n não converge.
    Aqui vamos aplicar o teste de série geométrica porque o termo tem a forma de uma potência.

Passo 3

Reconhecendo a série como geométrica: escrever o termo de forma explícita como potência.
\frac{2}{5^{n}}=2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Logo a série é
\sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Numa série geométrica geral podemos ter \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} com razão r. Aqui é mais conveniente identificar o primeiro termo e a razão reescrevendo como \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1}: note que
2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}= \left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}.
Portanto o primeiro termo é a=\dfrac{2}{5} e a razão é r=\dfrac{1}{5}.

Passo 4

Teste da série geométrica: uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui |r|=\left|\dfrac{1}{5}\right|=\dfrac{1}{5}<1, portanto a série converge.

Passo 5

Conclusão sobre convergência absoluta: os termos da série são todos positivos, então |a_n|=a_n e a série dos módulos é a mesma série original:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{2}{5^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n}}.
Como já vimos que essa série converge (por ser geométrica com |r|<1), segue que a série é absolutamente convergente. Se uma série é absolutamente convergente, ela converge (e portanto não é apenas condicional).

Passo 6

Cálculo do valor da soma (opcional, mas útil para fixar a ideia): a soma de \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1} é \dfrac{a}{1-r}. Usando a=\dfrac{2}{5} e r=\dfrac{1}{5},
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n}}=\frac{\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Resposta

Absolutamente Convergente

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