Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2}}
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando o teste usado. Informações relevantes:
Os termos da série são positivos para todo n\ge 1;
Não foi pedido o valor da soma, apenas a classificação da convergência.
Passo 2
Definições (úteis para a prova e para entender o que se pede):
Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
É condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
É divergente se \sum a_n não converge.
Observação prática: se os termos a_n são todos não negativos (como aqui), então |a_n|=a_n. Portanto, para séries de termos positivos, “convergência” já implica “convergência absoluta”.
Passo 3
Escolher um teste apropriado. Como temos uma série de termos positivos que se parecem com potências de n, o teste natural é o teste da série-p (p-series) ou um teste de comparação com uma p-série conhecida. Lembrete do teste da p-série:
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
Uma justificativa rápida (que vale para a prova): usar o teste da integral. Para p\neq1,
que converge exatamente quando p>1. Assim \sum 1/n^{p} converge para p>1 (e diverge para p\le1).
Passo 4
Comparação com uma p-série convergente. Note que, para todo n\ge 1,
2n+1 \ge n \quad\Rightarrow\quad (2n+1)^{2}\ge n^{2}.
Tomando recíprocos e usando que todos os termos são positivos, obtemos
0<\frac{1}{(2n+1)^{2}}\le \frac{1}{n^{2}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é uma p-série com p=2>1, portanto converge. Pelo teste da comparação (se 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge), conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}
também converge.
Passo 5
Conclusão sobre convergência absoluta/condicional. Como os termos da série são todos positivos, temos |a_n|=a_n. Portanto a convergência da série original já implica que a série das modulações \sum |a_n| converge: isto é, a série é absolutamente convergente. Em outras palavras, não há distinção entre convergência e convergência absoluta quando todos os termos são não negativos.