Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar o teste usado. Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral é
. - A série é de termos não-negativos, porque
para todo .
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma simples):
- Dizemos que a série
é absolutamente convergente se a série das normas converge. - Dizemos que é condicionalmente convergente se
converge mas diverge.
Como a nossa série tem termos não-negativos, temos. Logo, verificar a convergência da série original é o mesmo que verificar a convergência absoluta.
Passo 3
Apresentando um teste acessível e bem conhecido que vamos usar: o teste da comparação direta.
Teorema (teste da comparação direta, versão para séries com termos não-negativos):
Se para todo
a partir de algum índice e
converge, então
também converge. Intuição: se um “limite superior” converge, tudo que for menor ou igual também converge.
Teorema (teste da comparação direta, versão para séries com termos não-negativos):
Se
Passo 4
Aplicando comparação com uma série p conhecida:
Para todo inteiro vale
Para todo inteiro
pois
. A série de referência é a série p
que é convergente porque é uma p-série com
(fato padrão:
converge se, e somente se,
). Pelo teste da comparação direta, como
e
converge, concluímos que
também converge.
Passo 5
Concluindo sobre convergência absoluta/condicional:
Já que os termos são não-negativos, a série converge se e somente se converge absolutamente (pois ). Portanto a série é absolutamente convergente.
Já que os termos são não-negativos, a série converge se e somente se converge absolutamente (pois
Pequeno reforço intuitivo: mesmo que
oscile e não tenha limite, o quadrado
é sempre limitado por
, e o fator
é pequeno o bastante (série p com
) para forçar a soma a convergir.
Resposta
Absolutamente convergente.