Para cada série abaixo, determine se ela é Absolutamente Convergente, Condicionalmente Convergente ou Divergente, justificando o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{n^{2}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar o teste usado. Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{n^{2}}.
  • A série é de termos não-negativos, porque \operatorname{sen}^{2}(n)\ge 0 para todo n.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma simples):
  • Dizemos que a série \sum a_n é absolutamente convergente se a série das normas \sum |a_n| converge.
  • Dizemos que é condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
    Como a nossa série tem termos não-negativos, temos |a_n|=a_n. Logo, verificar a convergência da série original é o mesmo que verificar a convergência absoluta.

Passo 3

Apresentando um teste acessível e bem conhecido que vamos usar: o teste da comparação direta.
Teorema (teste da comparação direta, versão para séries com termos não-negativos):
Se 0\le u_n\le v_n para todo n a partir de algum índice e \sum v_n converge, então \sum u_n também converge. Intuição: se um “limite superior” converge, tudo que for menor ou igual também converge.

Passo 4

Aplicando comparação com uma série p conhecida:
Para todo inteiro n vale
0\le \frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{n^{2}}\le \frac{1}{n^{2}},
pois 0\le \operatorname{sen}^{2}(n)\le 1. A série de referência é a série p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que é convergente porque é uma p-série com p=2>1 (fato padrão: \sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1). Pelo teste da comparação direta, como \dfrac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{n^{2}}\le \dfrac{1}{n^{2}} e \sum 1/n^{2} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{n^{2}}
também converge.

Passo 5

Concluindo sobre convergência absoluta/condicional:
Já que os termos são não-negativos, a série converge se e somente se converge absolutamente (pois |a_n|=a_n). Portanto a série é absolutamente convergente.
Pequeno reforço intuitivo: mesmo que \sin(n) oscile e não tenha limite, o quadrado \sin^2(n) é sempre limitado por 1, e o fator 1/n^2 é pequeno o bastante (série p com p=2) para forçar a soma a convergir.

Resposta

Absolutamente convergente.

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