Para cada um dos sistemas lineares abaixo, encontre as matrizes A e \mathbf{b} do sistema e resolva cada um dos sistemas por dois métodos: método da matriz inversa e regra de Cramer. \left\{\begin{aligned} 2 x-3 y-5 z & =-19 \\\\ -x+2 y+3 z & =12 \\\ x-y-z & =-4\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema linear dado:
Encontrar as matrizes A e \mathbf{b} associadas ao sistema.
Resolver o sistema por dois métodos: (i) método da matriz inversa e (ii) regra de Cramer.
As informações que o enunciado fornece (peguei diretamente do sistema) são as equações:
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível. Observação prática: com \det(A)=1, a inversa será simplesmente a matriz adjunta (adjugate), porque A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A).
Passo 3
Vou construir a inversa A^{-1} usando a matriz dos cofatores e sua transposta (adjugada). Procedimento: calcular todos os menores M_{ij} (determinantes das 2×2 que surgem ao eliminar linha i e coluna j), depois os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, formar a matriz dos cofatores e transpor para obter \operatorname{adj}(A). Como \det(A)=1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A).
Calculei já alguns menores na verificação do determinante; agora listo todos os menores M_{ij}:
Agora resolvo \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Faço a multiplicação linha por coluna (cada entrada da solução é o produto escalar da linha correspondente de A^{-1} com \mathbf{b}).
Portanto, pela matriz inversa obtém-se (x,y,z)=(1,2,3).]
Passo 5
Agora resolvo o sistema pela regra de Cramer (para reforçar e mostrar outro método). Regra de Cramer (para matriz 3\times3) diz:
x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)},\qquad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)},
onde A_x é a matriz obtida de A substituindo a 1ª coluna por \mathbf{b}, A_y substitui a 2ª coluna por \mathbf{b}, e A_z substitui a 3ª coluna por \mathbf{b}.
Como já sabemos \det(A)=1, basta calcular \det(A_x),\det(A_y),\det(A_z).