Considere uma firma monopolista cuja função custo total seja C(x)=k x^{2} e que se depare com uma curva de demanda x=a-b p. Como nos problemas anteriores, t é a alíquota de imposto estabelecida pelo governo.
(a) Que restrições sobre os valores dos parâmetros a, b e k você imporia a priori?
(b) Encontre a função x=x^{*}(t). Confirme que as restrições impostas sobre os valores de a, b e k no item (a) implicam que \frac{d x^{*}}{d t}<0.
(c) Que restrições sobre os valores dos parâmetros a, b e k decorrem da hipótese comportamental de que o monopolista é um maximizador de lucros? Essas restrições são mais fracas ou mais fortes das que você inicialmente impôs no item (a)?
(d) Confirme que, para essa especificação do modelo, a hipótese de maximização de lucros implica que \frac{d x^{*}}{d t}<0.
(e) Qual o efeito sobre a quantidade produzida e o preço ótimos quando há um deslocamento paralelo da curva de demanda?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Função custo total: C(x)=k x^{2}.
    • Curva de demanda (forma direta): x=a-b p.
    • t é a alíquota de imposto (ad valorem) aplicada pelo governo.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Que restrições sobre a,b,k impor a priori?
    (b) Encontrar x=x^{*}(t) e confirmar que as restrições do item (a) implicam \dfrac{d x^{*}}{d t}<0.
    (c) Quais restrições decorrem da hipótese de que o monopolista maximiza lucros? Essas restrições são mais fracas ou mais fortes que as do (a)?
    (d) Confirmar que, sob maximização de lucros, \dfrac{d x^{*}}{d t}<0.
    (e) Efeito sobre quantidade e preço ótimos quando a curva de demanda sofre um deslocamento paralelo.

Passo 2

Escolha do tratamento do imposto (decisão necessária para modelar): vou adotar a hipótese padrão de imposto ad valorem sobre o preço incidente sobre o vendedor, ou seja, se o preço ao consumidor é p o governo toma uma fração t de p e a firma recebe por unidade vendida o preço líquido p(1-t). Explico rapidamente por que: é a formulação usual quando se diz “alíquota t”; se o imposto fosse sobre o comprador o modelo se ajustaria trocando-se onde o imposto aparece, mas o efeito econômico é análogo com a mudança apropriada na convenção.

Passo 3

Converter a demanda para a forma inversa (preço em função da quantidade), porque trabalharemos com receita em função de x.
A partir de x=a-b p obtemos a função inversa:
p=\frac{a-x}{b}.
Explico: a é o intercepto de demanda (quantidade máxima quando p=0), b>0 é o parâmetro que relaciona quanto a quantidade muda quando o preço muda (a inclinação absoluta da demanda). Aqui assumimos b>0 para que a demanda seja decrescente em p.

Passo 4

Escrever a função lucro da firma (receita líquida menos custo). A firma vende x unidades a preço de mercado p (o consumidor paga p), mas por unidade a firma recebe p(1-t). Portanto a receita líquida é p(1-t)x. O lucro é:
\pi(x)=\underbrace{(1-t)p x}_{\text{receita líquida}} - \underbrace{C(x)}_{\text{custo}}.í
Substituindo p=\dfrac{a-x}{b} e C(x)=k x^{2} obtemos:
\pi(x)=(1-t)\frac{a-x}{b}\,x - k x^{2}.
Vou trabalhar com essa expressão para encontrar o ótimo interno.

Passo 5

Derivar a condição de primeira ordem (FOC). Primeiro simplifico a expressão e depois derivarei passo a passo.
Escrevendo explicitamente:
\pi(x)=\frac{1-t}{b}\,(a x - x^{2}) - k x^{2}.
Agora calculo a derivada:
\frac{d\pi}{dx}=\frac{1-t}{b}\,(a - 2x) - 2k x.
Explico cada termo: derivada de a x é a; derivada de -x^{2} é -2x; o factor \dfrac{1-t}{b} é constante; derivada de -k x^{2} é -2k x.
A condição de primeira ordem para máximo interior é \dfrac{d\pi}{dx}=0. Assim:
\frac{1-t}{b}\,(a - 2x) - 2k x = 0.
Agora resolvo essa equação para x. Isolo os termos em x:
\frac{1-t}{b} a - \frac{2(1-t)}{b} x = 2k x.
Coloco todos os termos em x no mesmo lado:
\frac{1-t}{b} a = x\left(\frac{2(1-t)}{b} + 2k\right).
Logo a solução interior é
x^{*}(t)=\frac{\dfrac{1-t}{b}\,a}{\dfrac{2(1-t)}{b}+2k}.
Multiplicando numerador e denominador por b para simplificar:
x^{*}(t)=\frac{(1-t)a}{2\big((1-t)+k b\big)}.
Esta é a expressão explícita procurada. Interpretação: x^{*} é proporcional a a (quanto maior a interceptação da demanda maior a quantidade) e decresce com t (o imposto reduz a recepção líquida da firma), com k e com b aparecendo no denominador via k b.

Passo 6

Verificação da condição de segunda ordem (SOC) para garantir máximo (concavidade local). Calculo a segunda derivada:
\frac{d^{2}\pi}{dx^{2}}=\frac{1-t}{b}(-2) - 2k = -2\left(\frac{1-t}{b} + k\right).
Para que seja máximo interno queremos \dfrac{d^{2}\pi}{dx^{2}}<0. Observa-se que, se b>0 e 1-t\ge 0 e k\ge 0, então \dfrac{1-t}{b}+k>0 e portanto a segunda derivada é negativa. Em particular, se assumirmos 0\le t<1, b>0 e k\ge 0 a condição de concavidade é satisfeita e a solução x^{*}(t) é um máximo global (dado que a função lucro é quadrática negativa em x).

Passo 7

Determinar sinal de \dfrac{d x^{*}}{d t}. Uso uma forma mais simples para derivar. Defino u=1-t, então
x^{*}=\frac{a}{2}\cdot\frac{u}{u+k b}.
Derivo em relação a t; note que du/dt=-1. Aplicando a regra do quociente (ou produto com u):
\frac{d x^{*}}{d t}=\frac{a}{2}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{u}{u+k b}\right) =\frac{a}{2}\cdot\frac{du/dt\cdot(u+k b) - u\cdot du/dt}{(u+k b)^{2}}.
Substituo du/dt=-1:
\frac{d x^{*}}{d t}=\frac{a}{2}\cdot\frac{-1\cdot(u+k b) - u\cdot(-1)}{(u+k b)^{2}} =\frac{a}{2}\cdot\frac{-k b}{(u+k b)^{2}}.
Voltando a u=1-t:
\frac{d x^{*}}{d t}=-\frac{a k b}{2\big((1-t)+k b\big)^{2}}.
Análise do sinal: se a>0, b>0 e k>0 e t<1 (portanto denominador positivo), então \dfrac{d x^{*}}{d t}<0. Se k=0 então \dfrac{d x^{*}}{d t}=0 (interpretação: com custo zero a quantidade ótima x^{*}=a/2 não depende de t). Portanto, sob as restrições econômicas usuais com k>0 temos queda estrita da quantidade quando t aumenta.

Passo 8

Responder (a) com justificativa didática: restrições a priori razoáveis sobre parâmetros.
  • a>0. Justificativa: a é o intercepto da demanda em quantidade quando p=0; se a\le 0 a demanda seria nula ou negativa e o problema econômico padrão perde sentido.
  • b>0. Justificativa: a equação x=a-b p descreve demanda decrescente em p; assim b>0.
  • k\ge 0, preferivelmente k>0. Justificativa: k determina o custo marginal ( C'(x)=2k x); k negativo seria custo decrescente por unidade sem sentido, e k=0 corresponde a custo nulo (caso extremo, menos realista). Para garantirmos solução interior e respostas bem comportadas tomamos normalmente k>0.
  • Sobre t: 0\le t<1. Justificativa: alíquota negativa não faz sentido e t\ge 1 significaria que o governo confiscaria todo (ou mais) o preço do consumidor, quebrando a fórmula de receita líquida.
Essas são as restrições “a priori” naturais.

Passo 9

Responder (c): restrições decorrentes da hipótese de maximização de lucros e comparação com (a).
Da condição de maximização (concavidade e FOC), vimos que a SOC exige \dfrac{1-t}{b}+k>0. Isso se cumpre para qualquer b>0, t<1 e k\ge 0. A FOC dá a solução x^{*} e para que x^{*} seja positiva precisamos (1-t)a>0, isto é, a>0 e t<1. Portanto as restrições originadas na hipótese de maximização são:
  • a>0,
  • b>0,
  • 0\le t<1,
  • k\ge 0 (bastando k\ge 0 para a SOC; para máximo estrito positivo normalmente toma-se k>0).
Comparação: as restrições derivadas do comportamento de maximização são ligeiramente mais fracas que as impostas a priori no item (a) porque em (a) sugeri preferencialmente k>0 por realismo; matematicamente a maximização aceita também k=0. Logo as restrições comportamentais são mais fracas (permitindo k=0) do que a versão “estrita” a priori que exigia k>0.

Passo 10

Responder (d) usando a hipótese de maximização: com as restrições necessárias para a maximização (especialmente a>0, b>0, t<1 e k\ge 0) já calculei \dfrac{d x^{*}}{d t} no Passo 7:
\frac{d x^{*}}{d t}=-\frac{a k b}{2\big((1-t)+k b\big)^{2}}.
Consequências:
  • Se k>0 (caso econômico mais realista), então \dfrac{d x^{*}}{d t}<0. Portanto o imposto ad valorem reduz estritamente a quantidade ótima produzida.
  • Se k=0, então \dfrac{d x^{*}}{d t}=0 e a quantidade ótima é x^{*}=a/2, independente de t. Isso acontece porque com custo zero a firma, apesar de receber menos por unidade quando t aumenta, ajusta o preço de forma que a quantidade ótima sob essa demanda específica permaneça a/2.
Assim, sob a hipótese de maximização de lucros e assumindo k>0, confirma-se \dfrac{d x^{*}}{d t}<0.

Passo 11

Responder (e): efeito de um deslocamento paralelo da curva de demanda. Interpreto “deslocamento paralelo” como variação do parâmetro a para a+\Delta com \Delta (pequeno) positivo; b permanece fixo.
Parto da expressão:
x^{*}(t)=\frac{(1-t)a}{2\big((1-t)+k b\big)}.
Derivada parcial em relação a a:
\frac{\partial x^{*}}{\partial a}=\frac{1-t}{2\big((1-t)+k b\big)} >0 \quad\text{(para \(0\le t<1\), \(b>0\), \(k\ge 0\))}.
Conclusão: um aumento paralelo da demanda (aumentar a) aumenta a quantidade ótima produzida.
Para o preço ótimo ao consumidor p^{*}: use p^{*}=\dfrac{a-x^{*}}{b}. Substituindo x^{*} e simplificando (forma útil):
p^{*}=\frac{a(1-t + 2k b)}{2b(1-t + k b)}.
Pode-se verificar que p^{*} é linear em a, logo
\frac{\partial p^{*}}{\partial a}=\frac{1-t + 2k b}{2b(1-t + k b)}>0.
Portanto, um deslocamento paralelo para cima da demanda (aumentar a) aumenta também o preço ótimo ao consumidor. Intuição: demanda mais alta permite ao monopolista elevar preço e vender mais; quanto maior k (custos mais rápidos), maior é o efeito sobre o preço relativo ao efeito sobre a quantidade.

Resposta

(a) a>0,\; b>0,\; k\ge 0 (preferivelmente k>0 por realismo) e 0\le t<1.\n
(b) \displaystyle x^{*}(t)=\frac{(1-t)a}{2\big((1-t)+k b\big)} e, sob a>0,\;b>0,\;k>0,\;t<1, \dfrac{d x^{*}}{d t}=-\dfrac{a k b}{2\big((1-t)+k b\big)^{2}}<0.\n
(c) Da maximização decorrem a>0,\;b>0,\;0\le t<1,\;k\ge 0. Essas restrições são levemente mais fracas que as do (a) porque a maximização admite k=0 enquanto no (a) sugeriu-se preferivelmente k>0.\n
(d) A hipótese de maximização implica \displaystyle \frac{d x^{*}}{d t}=-\frac{a k b}{2\big((1-t)+k b\big)^{2}}, o que é <0 se k>0 (se k=0 0).\n
(e) Um deslocamento paralelo da demanda via a\to a+\Delta (com \Delta>0) aumenta tanto a quantidade como o preço ótimos:
\displaystyle \frac{\partial x^{*}}{\partial a}=\frac{1-t}{2\big((1-t)+k b\big)}>0,
\displaystyle \frac{\partial p^{*}}{\partial a}=\frac{1-t+2kb}{2b(1-t+kb)}>0.

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