Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \vec{b} e [A \mid \vec{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \vec{b}], (iii) classifique e (iv) resolva o sistema (quando houver solução).
(a) \left\{\begin{aligned} x+2 y-z & =0 \\\\ 2 x+3 y+z & =5 \\\ x+y+2 z & =4\end{aligned}\right.
(b) \left\{\begin{array}{rlr}x+y-z & =-1 \\\\ 2 x+y-z & =1 \\\\ 3 x+y+2 z & =5 \\\\ 4 x+2 y+z & =4\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{aligned} x-y+z+w & =4 \\\\ 2 x-y-z & =-3 \\\ x+2 y+w & =1 \\\\ 5 x+z-w & =5\end{aligned}\right.
(d) \left\{\begin{aligned} x-3 y+2 z & =1 \\\ x+y-z & =1 \\\\ 3 x-5 y+3 z & =3\end{aligned}\right.
(e) \left\{\begin{array}{r}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-3 y+z=0 \\\\ 4 x+y-z=4\end{array}\right.
(f) \left\{\begin{aligned} x+y+z-w & =2 \\\\ 2 x-y-z+w & =-1 \\\ x+2 y-3 z & =-3 \\\\ 3 x-3 y+3 z-w & =-4\end{aligned}\right.
(g) \left\{\begin{array}{r}2 x-y+3 z-w=2 \\\ x-3 y-2 z+2 w=4\end{array}\right.
(h) \{x-3 y+5 z=4
Passo 1
O que o enunciado pede para cada sistema (a)–(h): (i) identificar a matriz dos coeficientes A, o vetor dos termos independentes \vec{b} e a matriz aumentada [A\mid\vec{b}]; (ii) escalonar (fazer eliminação por linhas) [A\mid\vec{b}]; (iii) classificar o sistema (única solução / infinitas soluções / inconsistente); (iv) encontrar a(s) solução(ões) quando existirem.
Dados (vou copiar cada sistema tal como aparece no enunciado):
(ii) Explicando a ideia rápida da eliminação: fazemos operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter zeros abaixo dos pivôs e chegar a uma forma triangular (ou reduzida), o que permite verificar consistência e resolver por retro-substituição.
A quarta linha é redundante (linha 4 − linha 3 = zero). Temos pivôs em colunas x,y,z, isto é três pivôs não nulos para as três incógnitas.
(iii) Classificação: sistema compatível determinado (única solução).
(iv) Resolução por retro-substituição:
Da linha 3: 3z=2\Rightarrow z=\dfrac{2}{3}.
Da linha 2: -y+z=3\Rightarrow y=z-3=\dfrac{2}{3}-3=-\dfrac{7}{3}.
Da linha 1: x+y-z=-1\Rightarrow x=-1-y+z=-1-(-\tfrac{7}{3})+\tfrac{2}{3}=2.
A última linha corresponde a -\tfrac{17}{4}w=-\tfrac{5}{4}.
(iii) Classificação: há pivôs em todas as colunas (colunas 1–4), logo sistema compatível determinado (única solução).
(iv) Resolução por retro-substituição:
Da última linha: -\tfrac{17}{4}w=-\tfrac{5}{4}\Rightarrow w=\dfrac{5}{17}.
Da linha 3: 4z+3w=15\Rightarrow 4z=15-3w=15-3\cdot\dfrac{5}{17}=\dfrac{255-15}{17}=\dfrac{240}{17}\Rightarrow z=\dfrac{60}{17}.
Da linha 2: y-3z-2w=-11\Rightarrow y=-11+3z+2w=-11+3\cdot\dfrac{60}{17}+2\cdot\dfrac{5}{17}=\dfrac{3}{17}.
Da linha 1: x-y+z+w=4\Rightarrow x=4+y-z-w=4+\dfrac{3}{17}-\dfrac{60}{17}-\dfrac{5}{17}=\dfrac{6}{17}.
(iii) Classificação: há duas equações efetivas para três incógnitas → sistema compatível indeterminado (infinitas soluções, um parâmetro livre).
(iv) Resolver escrevendo parâmetro. Da linha 2: 4y-3z=0\Rightarrow y=\dfrac{3}{4}z. Da linha 1: x-3y+2z=1\Rightarrow x=1+3y-2z. Tomando z=t\in\mathbb{R} (parâmetro), temos
(iii) Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções), pois há duas equações independentes e três incógnitas.
(iv) Resolver por parâmetro. Da linha 2: -7y+3z=-4\Rightarrow 7y=3z+4\Rightarrow y=\dfrac{3z+4}{7}. Da linha 1: x+2y-z=2\Rightarrow x=2-2y+z. Tomando z=t livre:
y=\dfrac{3t+4}{7},\qquad x=\dfrac{6+t}{7}.
Solução em função de t\in\mathbb{R}: \displaystyle (x,y,z)=\left(\dfrac{6+t}{7},\,\dfrac{3t+4}{7},\,t\right).]
(iii) Classificação: pivôs em todas as colunas 1 a 4 — sistema compatível determinado (única solução).
(iv) Retro-substituição:
Da última linha: w=5.
Da linha 3: 3z-w=5\Rightarrow 3z=10\Rightarrow z=\dfrac{10}{3}.
Da linha 2: y-4z+w=-5\Rightarrow y=-5+4z-w=-5+4\cdot\dfrac{10}{3}-5=\dfrac{10}{3}.
Da linha 1: x+y+z-w=2\Rightarrow x=2-y-z+w=2-\dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{3}+5=\dfrac{1}{3}.
(iii) Classificação: duas equações para quatro incógnitas → sistema compatível indeterminado, com duas variáveis livres (grau de liberdade 4-{\rm posto}=4-2=2).
(iv) Resolver em parâmetros. Tome z=s,\\ w=t como parâmetros livres. Da segunda linha: