Encontre \mathbf{A}^{-1} onde:
\mathbf{A}=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & x \\ 1 & 1 & x^{2} \\ 2 & 2 & x^{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\[4pt] 1 & 1 & x^{2} \\[4pt] 2 & 2 & x^{2}\end{pmatrix}
e pede para encontrar \mathbf{A}^{-1}. As informações relevantes são:
  • A matriz depende do parâmetro \;x\;.
  • Precisamos determinar para quais valores de \;x\; a inversa existe e, quando existir, calcular explicitamente \mathbf{A}^{-1}.

    Não faço mais nada neste passo além de listar o que foi dado e o que é pedido.]

Passo 2

Antes de tentar calcular a inversa, é obrigatório verificar quando \mathbf{A} é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Vou calcular \det(\mathbf{A}).
\det(\mathbf{A}) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & x^{2} \\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) + x\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & x^{2} \\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix} = 1\cdot x^{2} - 2\cdot x^{2} = -x^{2},
\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} = 1\cdot 2 - 1\cdot 2 = 0.
Portanto
\det(\mathbf{A}) = 1\cdot(-x^{2}) + x\cdot 0 = -x^{2}.
Conclusão importante: \mathbf{A} é invertível exatamente quando -x^{2}\neq 0, ou seja, quando \;x\neq 0\;.]

Passo 3

Vou calcular \mathbf{A}^{-1} assumindo \;x\neq 0\;. O método escolhido é a eliminação por Gauss-Jordan: augmentamos \mathbf{A} com a matriz identidade e fazemos operações elementares de linha para transformar o bloco \mathbf{A} em identidade; o bloco que estiver à direita será então \mathbf{A}^{-1}. Esse método é prático em prova porque transforma sistematicamente a matriz em identidade usando operações que preservam a solução.
Lembrete rápido sobre operações de linha permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares, que mantêm equivalência.

Passo 4

Escrevo a matriz aumentada [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & x & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & x^{2} & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 2 & x^{2} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: zerar abaixo do pivô da coluna 1 (que já é 1 na linha 1). Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
Calculo R_{2}-R_{1}:
R_{2}-R_{1} = \bigl(1-1,\;1-0,\;x^{2}-x\mid 0-1,\;1-0,\;0-0\bigr) = (0,\;1,\;x^{2}-x\mid -1,\;1,\;0).
Calculo R_{3}-2R_{1}:
R_{3}-2R_{1} = \bigl(2-2,\;2-0,\;x^{2}-2x\mid 0-2,\;0-0,\;1-0\bigr) = (0,\;2,\;x^{2}-2x\mid -2,\;0,\;1).
A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & x & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & x^{2}-x & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & x^{2}-2x & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora uso o pivô da segunda linha (que é 1 na coluna 2) para zerar a entrada abaixo: faço R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}.
Calculo a nova terceira linha:
  • Coluna 1: 0-2\cdot 0 = 0.
  • Coluna 2: 2-2\cdot 1 = 0.
  • Coluna 3: (x^{2}-2x) - 2(x^{2}-x) = x^{2}-2x -2x^{2}+2x = -x^{2}.
  • Parte direita: (-2) - 2(-1) = -2 + 2 = 0; 0 - 2\cdot 1 = -2; 1 - 2\cdot 0 = 1.
Logo R_{3}=(0,\;0,\;-x^{2}\mid 0,\;-2,\;1). Aumentada agora é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & x & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & x^{2}-x & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -x^{2} & 0 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Terceiro pivô é -x^{2} na posição (3,3). Como estamos assumindo x\neq 0, esse pivô é não nulo. Normalizo a terceira linha dividindo por -x^{2}:
R_{3}\leftarrow \frac{1}{-x^{2}}R_{3}.
Isso dá
R_{3} = \bigl(0,\;0,\;1 \mid 0,\;\frac{2}{x^{2}},\;-\frac{1}{x^{2}}\bigr).
A matriz aumentada é agora
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & x & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & x^{2}-x & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{array}\right].]

Passo 7

Com o pivô 1 na posição (3,3) eu zero as entradas acima na coluna 3. Faço:
R_{1}\leftarrow R_{1}-xR_{3} e R_{2}\leftarrow R_{2}-(x^{2}-x)R_{3}.
Primeiro R_{1}-xR_{3}:
  • Colunas da esquerda: (1,0,x) - x(0,0,1) = (1,0,0).
  • Parte direita:
    • primeira entrada: 1 - x\cdot 0 = 1,
    • segunda: 0 - x\cdot \dfrac{2}{x^{2}} = -\dfrac{2x}{x^{2}} = -\dfrac{2}{x},
    • terceira: 0 - x\cdot\bigl(-\dfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \dfrac{x}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}.
Então R_{1}=(1,\;0,\;0 \mid 1,\; -\dfrac{2}{x},\; \dfrac{1}{x}).
Agora R_{2}-(x^{2}-x)R_{3}:
  • Colunas da esquerda: (0,1,x^{2}-x) - (x^{2}-x)(0,0,1) = (0,1,0).
  • Parte direita:
    • primeira: -1 - (x^{2}-x)\cdot 0 = -1,
    • segunda: 1 - (x^{2}-x)\cdot \dfrac{2}{x^{2}} = 1 - \dfrac{2(x^{2}-x)}{x^{2}}.
      Simplifico: \dfrac{2(x^{2}-x)}{x^{2}} = 2\Bigl(1 - \dfrac{1}{x}\Bigr) = 2 - \dfrac{2}{x}.
      Então segunda entrada fica 1 - (2 - \dfrac{2}{x}) = -1 + \dfrac{2}{x}.
    • terceira: 0 - (x^{2}-x)\cdot\bigl(-\dfrac{1}{x^{2}}\bigr) = +\dfrac{x^{2}-x}{x^{2}} = 1 - \dfrac{1}{x}.
Portanto R_{2}=(0,\;1,\;0 \mid -1,\; -1 + \dfrac{2}{x},\; 1 - \dfrac{1}{x}).
A matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[8pt] 0 & 1 & 0 & -1 & -1 + \dfrac{2}{x} & 1 - \dfrac{1}{x}\\[8pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{array}\right].]

Passo 8

Agora o bloco da esquerda é a identidade, então o bloco da direita é a inversa \mathbf{A}^{-1}. Resumo das observações:
  • A inversa existe somente se \;x\neq 0\; (pois \det(\mathbf{A})=-x^{2}).
  • Para \;x\neq 0\;, obtivemos \mathbf{A}^{-1} explicitamente lendo as linhas da parte direita.

Resposta

\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[8pt] -1 & -1+\dfrac{2}{x} & 1-\dfrac{1}{x}\\[8pt] 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{pmatrix},\qquad (x\neq 0)]

Exercícios relacionados