Para cada transformação linear abaixo, encontre a Matriz da Transformação Linear (em relação as bases canônicas):
T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5} tal que T(V)=\operatorname{proj}_{W} V onde W=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, 0, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear
\,T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5}\,
definida por
T(V)=\mathrm{proj}_{W}V
onde W é a reta gerada pelo vetor unitário
w=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},0,\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},0\bigr).
O conteúdo aqui é projeção ortogonal num subespaço unidimensional. Para resolver, vamos usar a fórmula do operador de projeção em relação a um vetor unitário.

Passo 2

Se w é um vetor unitário em \mathbb{R}^n, a projeção ortogonal de v sobre a reta gerada por w é
\mathrm{proj}_{w}(v)=\langle v,w\rangle\,w.
Como transformação linear, isso equivale à multiplicação por
P \;=\;w\,w^{T},
isto é, P é a matriz cujas entradas são P_{ij}=w_i\,w_j.

Passo 3

Identificamos
w=\begin{pmatrix} w_1\w_2\w_3\w_4\w_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{3}}\\\ 0\\tfrac{1}{\sqrt{3}}\\tfrac{1}{\sqrt{3}}\\\ 0 \end{pmatrix}.
Como \|w\|^2=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1, de fato w é unitário.

Passo 4

Vamos calcular P=w\,w^T. Cada entrada é
P_{ij}=w_i\,w_j.
Como só w_1,w_3,w_4 são não nulos e valem todos \tfrac{1}{\sqrt{3}}, temos
P_{ij}= \begin{cases} \tfrac{1}{3},&\text{se }i\in\{1,3,4\}\text{ e }j\in\{1,3,4\},\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

Escrevendo a matriz completa em relação à base canônica, obtemos
P \;=\;w\,w^{T} \;=\; \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados