Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
  dada por 
 .
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma transformação linear 
  que vai de 
  (polinômios de grau no máximo 2) para 
  (polinômios de grau no máximo 1). A gente precisa encontrar uma base e a dimensão para:
(i) O núcleo da transformação 
 .
(ii) O conjunto imagem da transformação 
 .
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares como núcleo (ou kernel) e imagem (ou range), além de resolver sistemas lineares para encontrar as bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de 
  é o conjunto de todos os polinômios 
  em 
  que são mapeados para o polinômio zero em 
 . Ou seja, queremos encontrar todos 
  tais que:
Passo 3
Vamos igualar a transformação a zero e resolver o sistema:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar 
 .
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos multiplicar a equação (1) por 5 para facilitar a eliminação de 
 :
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (3):
Agora, substituímos 
  na equação (1):
Então, temos 
  e 
 . Seja 
 , onde 
  é um parâmetro real. Portanto, os polinômios no núcleo são:
Passo 5
Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como todos os polinômios no núcleo são múltiplos de 
 , isso significa que o núcleo é gerado por esse vetor. Portanto, uma base para o núcleo é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que é 1.
Passo 6
Vamos agora determinar o conjunto imagem de 
 . A imagem de 
  é o conjunto de todos os polinômios em 
  que podem ser obtidos através de 
  para algum 
  em 
 .
Como 
 , podemos representar a imagem como o conjunto de pares 
 .
Isso forma um subespaço de 
  com até 2 dimensões.
Passo 7
Para encontrar uma base para a imagem, vamos considerar os vetores imagem gerados pelas imagens dos vetores da base de 
 . Suponha que a base de 
  seja 
 .
Calculamos 
  para cada um:
Agora, verificamos se esses vetores são linearmente independentes. Podemos notar que nenhum deles é múltiplo do outro, então uma possível base para a imagem é:
A dimensão da imagem é 2.
Resposta
(i) Núcleo de 
 :
- Base: 
 - Dimensão: 1
 
(ii) Imagem de 
 :
- Base: 
 - Dimensão: 2