Verifique se as transformações abaixo são lineares: 
 , onde 
  é fixada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a transformação 
  é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares entre espaços de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar das condições que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação 
  é linear se, para quaisquer matrizes 
  e 
  e qualquer escalar 
 , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
- Aditividade: 
 - Homogeneidade: 
 
Passo 3
Vamos aplicar a primeira propriedade, a aditividade. Seja 
 . Então:
Agora, vamos ver o que é 
 :
Como 
 , a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja 
  um escalar:
Então, 
 , o que satisfaz a homogeneidade.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade estão satisfeitas, a transformação 
  é linear.