Para cada uma das transformações lineares
dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre núcleo e imagem de uma transformação linear, além de trabalhar com sistemas de equações lineares para descobrir as bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
. Já a imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
.
Passo 3
Vamos começar encontrando o núcleo de
. Precisamos resolver a equação
. Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos
.
Da segunda equação, temos
.
Então, podemos expressar
e
em função de
. Vamos definir
, onde
é um parâmetro real. Assim:
Portanto, qualquer vetor no núcleo tem a forma
.
Passo 5
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor
. Logo, uma base para o núcleo é
. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem consiste em todos os vetores
para
em
.
Podemos pensar nos vetores da imagem como combinações lineares das colunas da matriz associada a
. A matriz de
é:
Passo 7
Para encontrar a base da imagem, vamos verificar a independência das colunas de
. As colunas são
,
e
.
Observamos que a terceira coluna é uma combinação linear da primeira e segunda colunas:
Então, as colunas 1 e 2 são suficientes para gerar a imagem.
Passo 8
Portanto, uma base para a imagem é formada pelas duas primeiras colunas de
:
Como há dois vetores na base, a dimensão da imagem é 2.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é
com dimensão 1, e uma base para a imagem de
é
com dimensão 2.