Para cada uma das transformações lineares T dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre núcleo e imagem de uma transformação linear, além de trabalhar com sistemas de equações lineares para descobrir as bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Já a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .

Passo 3

Vamos começar encontrando o núcleo de x + y = 0 y + z = 0 . Precisamos resolver a equação . Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos x = -t y = t z = -t .
Da segunda equação, temos .
Então, podemos expressar e em função de . Vamos definir , onde é um parâmetro real. Assim:
Portanto, qualquer vetor no núcleo tem a forma .

Passo 5

Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor . Logo, uma base para o núcleo é . Como temos apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 . A imagem consiste em todos os vetores para em .
Podemos pensar nos vetores da imagem como combinações lineares das colunas da matriz associada a . A matriz de é:

Passo 7

Para encontrar a base da imagem, vamos verificar a independência das colunas de 10. As colunas são 11, 01 e 01 = 10 times 0 + 11 times 1 - 10 times 1 .
Observamos que a terceira coluna é uma combinação linear da primeira e segunda colunas:
Então, as colunas 1 e 2 são suficientes para gerar a imagem.

Passo 8

Portanto, uma base para a imagem é formada pelas duas primeiras colunas de 10, 11 :
Como há dois vetores na base, a dimensão da imagem é 2.

Resposta

Uma base para o núcleo de 10 é 11 com dimensão 1, e uma base para a imagem de é com dimensão 2.

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