Para cada uma das transformações lineares 
  dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
  definida por 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear 
  definida por 
 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre núcleo e imagem de uma transformação linear, além de trabalhar com sistemas de equações lineares para descobrir as bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem. O núcleo de 
 , denotado por 
 , é o conjunto de todos os vetores em 
  que são mapeados para o vetor zero em 
 . Já a imagem de 
 , denotada por 
 , é o conjunto de todos os vetores em 
  que podem ser obtidos aplicando 
  a algum vetor de 
 .
Passo 3
Vamos começar encontrando o núcleo de 
 . Precisamos resolver a equação 
 . Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos 
 .
Da segunda equação, temos 
 .
Então, podemos expressar 
  e 
  em função de 
 . Vamos definir 
 , onde 
  é um parâmetro real. Assim:
Portanto, qualquer vetor no núcleo tem a forma 
 .
Passo 5
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor 
 . Logo, uma base para o núcleo é 
 . Como temos apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de 
 . A imagem consiste em todos os vetores 
  para 
  em 
 .
Podemos pensar nos vetores da imagem como combinações lineares das colunas da matriz associada a 
 . A matriz de 
  é:
Passo 7
Para encontrar a base da imagem, vamos verificar a independência das colunas de 
 . As colunas são 
 , 
  e 
 .
Observamos que a terceira coluna é uma combinação linear da primeira e segunda colunas:
Então, as colunas 1 e 2 são suficientes para gerar a imagem.
Passo 8
Portanto, uma base para a imagem é formada pelas duas primeiras colunas de 
 :
Como há dois vetores na base, a dimensão da imagem é 2.
Resposta
Uma base para o núcleo de 
  é 
  com dimensão 1, e uma base para a imagem de 
  é 
  com dimensão 2.