Sejam W1 e W2 subespaços de R^3, para os quais dim W1=1, dim W2=2 e W1 not subset W2. Mostre que R^3=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem dois subespaços, e , de . Sabemos que a dimensão de é 1, a de é 2, e não está completamente dentro de . Nosso objetivo é mostrar que é a soma direta desses dois subespaços, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Soma dos Subespaços: A soma de e deve cobrir todo , ou seja, .
  2. Interseção Trivial: A interseção de e deve ser apenas o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos começar verificando a dimensão da soma dos subespaços. Existe uma fórmula que relaciona as dimensões de dois subespaços e a dimensão da sua soma:
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2)
Substituindo os valores que conhecemos:
dim(W1 + W2) = 1 + 2 - dim(W1 cap W2)

Passo 4

Sabemos que 1 + 2 - dim(W1 cap W2) = 3 tem dimensão 3. Então, se quisermos que 3 - dim(W1 cap W2) = 3 implies dim(W1 cap W2) = 0 , a dimensão da soma deve ser 3:
Resolvendo para :

Passo 5

Isso significa que a interseção de W1 cap W2 = 0 e é trivial, ou seja, só contém o vetor zero:

Passo 6

Além disso, como não está contido em , isso reforça que a interseção deles é apenas o zero. Se estivesse dentro de , então a interseção seria inteira, o que não é o caso aqui.

Passo 7

Portanto, temos que:
  1. (a soma cobre todo o espaço).
  2. (a interseção é trivial).
Isso satisfaz a definição de soma direta de subespaços.

Resposta

Concluímos que , ou seja, todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de .

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