Sejam 
  e 
  subespaços de 
 , para os quais 
 , 
  e 
 . Mostre que 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem dois subespaços, 
  e 
 , de 
 . Sabemos que a dimensão de 
  é 1, a de 
  é 2, e 
  não está completamente dentro de 
 . Nosso objetivo é mostrar que 
  é a soma direta desses dois subespaços, ou seja, 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa 
 . Isso quer dizer que todo vetor em 
  pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 . Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- Soma dos Subespaços: A soma de 
e deve cobrir todo , ou seja, .  - Interseção Trivial: A interseção de 
e deve ser apenas o vetor zero, ou seja, .  
Passo 3
Vamos começar verificando a dimensão da soma dos subespaços. Existe uma fórmula que relaciona as dimensões de dois subespaços e a dimensão da sua soma:
Substituindo os valores que conhecemos:
Passo 4
Sabemos que 
  tem dimensão 3. Então, se quisermos que 
 , a dimensão da soma deve ser 3:
Resolvendo para 
 :
Passo 5
Isso significa que a interseção de 
  e 
  é trivial, ou seja, só contém o vetor zero:
Passo 6
Além disso, como 
  não está contido em 
 , isso reforça que a interseção deles é apenas o zero. Se 
  estivesse dentro de 
 , então a interseção seria 
  inteira, o que não é o caso aqui.
Passo 7
Portanto, temos que:
- 
(a soma cobre todo o espaço).  - 
(a interseção é trivial).  
Isso satisfaz a definição de soma direta de subespaços.
Resposta
Concluímos que 
 , ou seja, todo vetor em 
  pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 .