Sejam
e
subespaços de
, para os quais
,
e
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem dois subespaços,
e
, de
. Sabemos que a dimensão de
é 1, a de
é 2, e
não está completamente dentro de
. Nosso objetivo é mostrar que
é a soma direta desses dois subespaços, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- Soma dos Subespaços: A soma de
e deve cobrir todo , ou seja, . - Interseção Trivial: A interseção de
e deve ser apenas o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos começar verificando a dimensão da soma dos subespaços. Existe uma fórmula que relaciona as dimensões de dois subespaços e a dimensão da sua soma:
Substituindo os valores que conhecemos:
Passo 4
Sabemos que
tem dimensão 3. Então, se quisermos que
, a dimensão da soma deve ser 3:
Resolvendo para
:
Passo 5
Isso significa que a interseção de
e
é trivial, ou seja, só contém o vetor zero:
Passo 6
Além disso, como
não está contido em
, isso reforça que a interseção deles é apenas o zero. Se
estivesse dentro de
, então a interseção seria
inteira, o que não é o caso aqui.
Passo 7
Portanto, temos que:
-
(a soma cobre todo o espaço). -
(a interseção é trivial).
Isso satisfaz a definição de soma direta de subespaços.
Resposta
Concluímos que
, ou seja, todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
.