1. Se cada vetor em B_{2} for um múltiplo escalar de algum vetor em B_{1} então a matriz de transição de B_{1} para B_{2} é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas bases \;B_{1}=\{v_{1},\dots,v_{n}\} e B_{2}=\{w_{1},\dots,w_{n}\} de um espaço vetorial V. Afirma-se que se cada w_{j} for um múltiplo escalar de algum vetor de B_{1}, então a matriz de transição de B_{1} para B_{2} é necessariamente diagonal. Para resolver, vamos usar a definição de matriz de transição e a forma como representamos cada vetor de B_{2} na base B_{1}.

Passo 2

Por definição, a matriz de transição de B_{1} para B_{2}, que chamaremos de P, tem como j-ésima coluna as coordenadas de w_{j} em relação a B_{1}. Ou seja, se
w_{j} = c_{1j}\,v_{1} + c_{2j}\,v_{2} + \cdots + c_{nj}\,v_{n},
então a coluna j de P é
\begin{pmatrix} c_{1j}\\\ c_{2j}\\\ \vdots\\\ c_{nj} \end{pmatrix}.

Passo 3

Se cada w_{j} for um múltiplo escalar de algum vetor de B_{1}, então existem índices i_{j} e escalares \lambda_{j}\neq0 tais que
w_{j} = \lambda_{j}\,v_{i_{j}}.
Neste caso, na coluna j de P teremos exatamente um coeficiente não nulo, \lambda_{j}, na linha i_{j}, e zeros nas demais linhas:
\text{coluna }j = \begin{pmatrix} 0\\\ \vdots\\\ \lambda_{j}\\\ \vdots\\\\ 0 \end{pmatrix},
com \lambda_{j} na linha i_{j}.

Passo 4

Uma matriz em que cada coluna tem exatamente um elemento não nulo é chamada de matriz monomial (ou permutada-diagonal). Uma matriz diagonal é um caso especial em que sempre i_{j}=j para todo j. Se algum i_{j}\neq j, a única entrada não nula de certa coluna fica fora da diagonal principal, gerando uma permutação de linhas. Logo, só teremos uma matriz diagonal quando cada w_{j} for múltiplo precisamente de v_{j}.

Passo 5

Contraexemplo em \mathbb{R}^{2}:
B_{1} = \{(1,0),\,(0,1)\},\quad B_{2} = \{w_{1}=(0,1),\,w_{2}=(1,0)\}.
Aqui w_{1}=1\cdot(0,1)=1\cdot v_{2} e w_{2}=1\cdot(1,0)=1\cdot v_{1}. Cada w_{j} é múltiplo de algum v_{i}, mas a matriz de transição de B_{1} para B_{2} é
P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},
que não é diagonal.

Resposta

A afirmativa é falsa.

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