Se cada vetor em B_{2} for um múltiplo escalar de algum vetor em B_{1} então a matriz de transição de B_{1} para B_{2} é uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas bases \;B_{1}=\{v_{1},\dots,v_{n}\} e B_{2}=\{w_{1},\dots,w_{n}\} de um espaço vetorial V. Afirma-se que se cada w_{j} for um múltiplo escalar de algum vetor de B_{1}, então a matriz de transição de B_{1} para B_{2} é necessariamente diagonal. Para resolver, vamos usar a definição de matriz de transição e a forma como representamos cada vetor de B_{2} na base B_{1}.
Passo 2
Por definição, a matriz de transição de B_{1} para B_{2}, que chamaremos de P, tem como j-ésima coluna as coordenadas de w_{j} em relação a B_{1}. Ou seja, se
Uma matriz em que cada coluna tem exatamente um elemento não nulo é chamada de matriz monomial (ou permutada-diagonal). Uma matriz diagonal é um caso especial em que sempre i_{j}=j para todo j. Se algum i_{j}\neq j, a única entrada não nula de certa coluna fica fora da diagonal principal, gerando uma permutação de linhas. Logo, só teremos uma matriz diagonal quando cada w_{j} for múltiplo precisamente de v_{j}.
Aqui w_{1}=1\cdot(0,1)=1\cdot v_{2} e w_{2}=1\cdot(1,0)=1\cdot v_{1}. Cada w_{j} é múltiplo de algum v_{i}, mas a matriz de transição de B_{1} para B_{2} é
P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},