Para cada vetor
de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar
tal que o vetor
definido por
tenha a norma pedida.
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um vetor
e precisamos achar um número real
tal que, quando multiplicamos
por
, o novo vetor
tenha uma norma (ou comprimento) igual a 5. A gente vai usar conceitos de vetores e normas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
, escrita como
, é calculada usando a fórmula:
Onde
e
são as componentes do vetor
. No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular a norma de
usando as componentes que encontramos:
Lembrando que a raiz de
é
, que representa o valor absoluto de
.
Passo 4
Sabemos que
deve ser igual a 5, então podemos igualar a expressão que encontramos a 5:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Para simplificar a expressão
, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por
:
Então, o valor absoluto de
é
.
Passo 6
Como o valor absoluto de
é
, isso significa que
pode ser positivo ou negativo. Portanto, as soluções para
são:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
ou
.