Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para u=(u1, u2) e v= (v1, v2); por (Soma + ) u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1) e (produto escalar) alpha u= ( alpha u1, alpha u2 )
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto V que consiste em todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de uma maneira diferente do usual:
  • Soma: Para u = (u1, u2) e v = (v1, v2), a soma é u + v = (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 1).
  • Produto escalar: Para um escalar alpha, temos alpha u = (alpha u1, alpha u2).
Queremos encontrar dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos com essas definições. Para isso, precisamos conhecer os axiomas que um espaço vetorial deve satisfazer e verificar quais deles não funcionam com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns axiomas de espaço vetorial:
  1. Comutatividade da soma: u + v = v + u.
  2. Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w).
  3. Existência do elemento neutro (zero): Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u.
  4. Existência de inversos aditivos: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0.
  5. Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma vetorial: alpha (u + v) = alpha u + alpha v.
  6. Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: (alpha + beta) u = alpha u + beta u.
  7. Compatibilidade da multiplicação escalar: alpha (beta u) = (alpha beta) u.
  8. Elemento neutro da multiplicação escalar: 1 u = u.
Vamos verificar quais desses axiomas não se mantêm com as operações definidas no exercício.

Passo 3

Primeiro Axioma que não vale: Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma vetorial
Vamos verificar se alpha (u + v) = alpha u + alpha v.
Calculando cada lado:
  • Lado esquerdo:
    alpha (u + v) = alpha (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 1) = (alpha (u1 + v1 + 1), alpha (u2 + v2 + 1))
  • Lado direito:
    alpha u + alpha v = (alpha u1, alpha u2) + (alpha v1, alpha v2) = (alpha u1 + alpha v1 + 1, alpha u2 + alpha v2 + 1)
Comparando os dois lados:
(alpha (u1 + v1 + 1), alpha (u2 + v2 + 1)) neq (alpha u1 + alpha v1 + 1, alpha u2 + alpha v2 + 1)
A diferença está no termo “+1” que aparece no lado direito, tornando a igualdade inválida. Portanto, este axioma não é válido.

Passo 4

Segundo Axioma que não vale: Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma de escalares
Vamos verificar se (alpha + beta) u = alpha u + beta u.
Calculando cada lado:
  • Lado esquerdo:
    (alpha + beta) u = ((alpha + beta) u1, (alpha + beta) u2)
  • Lado direito:
    alpha u + beta u = (alpha u1, alpha u2) + (beta u1, beta u2) = (alpha u1 + beta u1 + 1, alpha u2 + beta u2 + 1)
Comparando os dois lados:
((alpha + beta) u1, (alpha + beta) u2) neq (alpha u1 + beta u1 + 1, alpha u2 + beta u2 + 1)
Mais uma vez, o “+1” faz com que a igualdade não seja verdadeira. Assim, este axioma também não é válido.

Resposta

Os dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos para as operações definidas são:
  1. Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma vetorial: alpha (u + v) neq alpha u + alpha v.
  2. Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: (alpha + beta) u neq alpha u + beta u.

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