Numa caixa estão 4 válvulas sendo duas perfeitas e duas defeituosas. As válvulas são testadas até que ambas as defeituosas sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a segunda válvula defeituosa seja encontrada no:
a) 2^circ ensaio?
b) 3^0 ensaio?
c) 4^0 ensaio?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a segunda válvula defeituosa seja encontrada exatamente no k-ésimo ensaio, onde temos 4 válvulas (2 perfeitas e 2 defeituosas). O conteúdo aqui é a distribuição hipergeométrica negativa (ou distribuição do número de ensaios até o r-ésimo sucesso) aplicada sem reposição.

Passo 2

Para achar P(X=k), precisamos: primeiro selecionar exatamente 1 defeituosa nos primeiros k−1 ensaios e depois tirar uma defeituosa no k-ésimo. Isso dá a fórmula
P(X=k)=binom21,binom2(k-1)-1binom4k-1times2-14-(k-1)

Passo 3

Agora é só calcular para cada caso:
Para k=2 temos
P(X=2)=binom21,binom20binom41times13=2cdot14times13=16
Para k=3 temos
P(X=3)=binom21,binom21binom42times12=2cdot26times12=13
Para k=4 temos
P(X=4)=binom21,binom22binom43times1=2cdot14=12

Resposta

a) 1/6; b) 1/3; c) 1/2.

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