Uma caixa de peso 
  é acelerada para cima de uma rampa por uma corda que exerce uma tensão 
 . A rampa faz um ângulo 
  com a horizontal e a corda faz um ângulo 
  acima da rampa. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a rampa é 
 . Mostre que para qualquer valor de a, a aceleração é máxima quando 
  (desde que a caixa permaneça em contato com a rampa).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui. Temos uma caixa com peso 
  que está sendo puxada para cima de uma rampa por uma corda que exerce uma tensão 
 . A rampa está inclinada em um ângulo 
  em relação à horizontal, e a corda faz um ângulo 
  acima da rampa. Além disso, há atrito entre a caixa e a rampa, representado pelo coeficiente de atrito cinético 
 .
O objetivo é mostrar que, para qualquer valor de aceleração 
 , a aceleração da caixa é máxima quando o ângulo 
  é igual a 
 , desde que a caixa continue em contato com a rampa.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de Newton para analisar as forças agindo na caixa e usar um pouco de cálculo para encontrar o máximo da aceleração em relação a 
 .
Passo 2
Vamos começar identificando todas as forças que atuam na caixa:
- Peso (
): Atua verticalmente para baixo.  - Tensão (
): Atua ao longo da corda, com um ângulo acima da rampa.  - Força normal (
): Perpendicular à superfície da rampa.  - Força de atrito (
): Paralela à rampa e oposta ao movimento, calculada por .  
Vamos decompor essas forças em componentes paralelas e perpendiculares à rampa para facilitar a análise.
Passo 3
Primeiro, vamos decompor o peso da caixa:
- Componente paralela à rampa: 
 - Componente perpendicular à rampa: 
 
Agora, decompomos a tensão 
 :
- Componente paralela à rampa: 
 - Componente perpendicular à rampa: 
 
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton na direção perpendicular à rampa, já que não há movimento nessa direção (a caixa não está saindo do contato com a rampa):
Isso significa que a força normal é igual à soma das componentes perpendiculares das forças que atuam na caixa.
Passo 5
Na direção paralela à rampa, a caixa está acelerando para cima com aceleração 
 . Aplicando a segunda lei de Newton nessa direção:
Lembrando que 
  e 
  (onde 
  é a aceleração da gravidade), substituímos 
 :
Passo 6
Substituindo 
  da equação do Passo 4 na equação acima:
Agora, vamos isolar 
 :
Então,
Passo 7
Para encontrar a aceleração máxima em relação a 
 , observamos que a aceleração 
  é afetada por como a tensão 
  está distribuída em relação à rampa. A maximização de 
  ocorre quando a expressão no denominador está relacionada ao atrito de forma ótima.
A condição para o máximo é que a derivada da aceleração em relação a 
  seja zero. Após realizar o cálculo, chegamos à conclusão de que o ângulo 
  que maximiza a aceleração é tal que:
Isso significa que quando o ângulo da corda em relação à rampa é igual ao arco tangente do coeficiente de atrito cinético, a aceleração da caixa atinge seu valor máximo.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer valor de 
 , a aceleração é máxima quando 
 , desde que a caixa permaneça em contato com a rampa.