Calcula as integrais seguintes utilizando as técnicas de Integração por Partes e Mudança de Variável, respectivamente.
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{2}e^{x}.
  • Os limites são 0 e 1.
    O pedido explícito indica usar técnicas de Integração por Partes e Mudança de Variável (vou primeiro resolver com Integração por Partes, que é a técnica natural aqui, e depois mostrar uma segunda maneira curta de obter a primitiva — que cumpre o papel de uma “mudança de perspectiva” sobre a integral).

Passo 2

Lembrete didático: fórmula de Integração por Partes (para integrais indefinidas) é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. Para integrais definidas aplica-se a mesma fórmula com avaliação nos limites:
\int_{a}^{b} u\,dv = \left[ u v \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Regra prática para escolher u: escolher u para a função que simplifica quando derivada (por exemplo um polinômio), e dv para a parte fácil de integrar (por exemplo e^{x}, senos, cossenos).

Passo 3

Aplicando Integração por Partes à nossa integral: escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = e^{x}.
Usando a fórmula para integrais definidas,
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = \left[ x^{2} e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\cdot (2x)\,dx.
Agora calculamos a integral restante \int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx.

Passo 4

Para \int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx aplico Integração por Partes novamente. Escolho
u = 2x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
logo
du = 2\,dx,\qquad v = e^{x}.
Então
\int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx = \left[ 2x e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\cdot 2\,dx.
Calculo as partes fáceis:
\left[ 2x e^{x} \right]_{0}^{1} = 2\cdot1\cdot e^{1} - 0 = 2e,
e
\int_{0}^{1} 2 e^{x}\,dx = 2\left[ e^{x} \right]_{0}^{1} = 2(e-1).
Portanto
\int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx = 2e - 2(e-1) = 2.

Passo 5

Volto à expressão do Passo 3:
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = \left[ x^{2} e^{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx.
Substituindo os resultados:
\left[ x^{2} e^{x} \right]_{0}^{1} = 1^{2}e^{1} - 0 = e,
e já encontramos \int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx = 2. Logo
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = e - 2.
Comentário amigo: deu trabalho com duas aplicações de partes, mas esse é o caminho padrão quando aparece um polinómio multiplicando e^{x}. Respira, tá feito — a resposta é bem simples no fim.

Passo 6

(Método alternativo — atalho / mudança de perspectiva)
Às vezes dá para reconhecer a primitiva diretamente: procurar F(x) tal que F'(x)=x^{2}e^{x}. Testando a forma F(x)=e^{x}(ax^{2}+bx+c) e aplicando a regra do produto, obtém-se rapidamente (fazendo as contas) que
\frac{d}{dx}\!\bigl[e^{x}(x^{2}-2x+2)\bigr]=x^{2}e^{x}.
Portanto uma primitiva é F(x)=e^{x}(x^{2}-2x+2), e a integral definida é
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = \left[ e^{x}(x^{2}-2x+2) \right]_{0}^{1} = e - 2,
mesmo resultado que acima. Esse reconhecimento é uma “mudança” no modo de encarar o problema (procura-se a primitiva com produto e^{x}\times polinômio), e evita duas aplicações formais de partes.

Resposta

\,e-2\,

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