Calcula as integrais seguintes utilizando as técnicas de Integração por Partes e Mudança de Variável, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites são
e .
O pedido explícito indica usar técnicas de Integração por Partes e Mudança de Variável (vou primeiro resolver com Integração por Partes, que é a técnica natural aqui, e depois mostrar uma segunda maneira curta de obter a primitiva — que cumpre o papel de uma “mudança de perspectiva” sobre a integral).
Passo 2
Lembrete didático: fórmula de Integração por Partes (para integrais indefinidas) é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. Para integrais definidas aplica-se a mesma fórmula com avaliação nos limites:
Regra prática para escolher
: escolher
para a função que simplifica quando derivada (por exemplo um polinômio), e
para a parte fácil de integrar (por exemplo
, senos, cossenos).
Passo 3
Aplicando Integração por Partes à nossa integral: escolho
Então
Usando a fórmula para integrais definidas,
Agora calculamos a integral restante
.
Passo 4
Para
aplico Integração por Partes novamente. Escolho
logo
Então
Calculo as partes fáceis:
e
Portanto
Passo 5
Volto à expressão do Passo 3:
Substituindo os resultados:
e já encontramos
. Logo
Comentário amigo: deu trabalho com duas aplicações de partes, mas esse é o caminho padrão quando aparece um polinómio multiplicando
. Respira, tá feito — a resposta é bem simples no fim.
Passo 6
(Método alternativo — atalho / mudança de perspectiva)
Às vezes dá para reconhecer a primitiva diretamente: procurar tal que
. Testando a forma
e aplicando a regra do produto, obtém-se rapidamente (fazendo as contas) que
Às vezes dá para reconhecer a primitiva diretamente: procurar
Portanto uma primitiva é
, e a integral definida é
mesmo resultado que acima. Esse reconhecimento é uma “mudança” no modo de encarar o problema (procura-se a primitiva com produto
polinômio), e evita duas aplicações formais de partes.