\text { 1) } \lim _{x \rightarrow 4 \frac{x^{3}-64}{x^{2}-16}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede o valor do limite quando x tende a 4 da expressão \dfrac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.
  • A expressão dada é \dfrac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.
  • A pergunta é apenas uma: calcular \displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.

Passo 2

Tentativa direta de substituição (sempre é o primeiro teste simples): calcular a forma da fração ao substituir x=4.
x^{3}-64\big|_{x=4}=4^{3}-64=64-64=0,
x^{2}-16\big|_{x=4}=4^{2}-16=16-16=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos manipular a expressão algebraicamente (ou usar outro método) antes de avaliar o limite.

Passo 3

Lembrete de fórmulas úteis (muito úteis para este tipo de limite):
  • Diferença de cubos: para quaisquer a e b,
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}).
  • Diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)\,(a+b).
Essas fórmulas servem para fatorar numerador e denominador e, possivelmente, cancelar um fator comum que causa a indeterminação.

Passo 4

Aplicar as fatorações ao numerador e ao denominador usando a=x e b=4 (porque 64=4^{3} e 16=4^{2}).
Fatorando o numerador por diferença de cubos:
x^{3}-64 = x^{3}-4^{3} = (x-4)\,(x^{2}+4x+16).
Fatorando o denominador por diferença de quadrados:
x^{2}-16 = x^{2}-4^{2} = (x-4)\,(x+4).
Assim a expressão original fica
\frac{x^{3}-64}{x^{2}-16} = \frac{(x-4)\,(x^{2}+4x+16)}{(x-4)\,(x+4)}.

Passo 5

Cancelar o fator comum (x-4).
Para x\neq 4 podemos simplificar a fração cancelando (x-4):
\frac{(x-4)\,(x^{2}+4x+16)}{(x-4)\,(x+4)} = \frac{x^{2}+4x+16}{x+4},\qquad \text{para }x\neq 4.
Observação didática: o limite quando x\to 4 depende apenas do comportamento da função para x próximos de 4, não do valor no próprio x=4. Mesmo que a expressão original esteja indefinida em x=4 (pois dava 0/0), a expressão simplificada é igual à original para todos os x próximos de 4 diferentes de 4. Como a expressão simplificada é contínua em x=4 (o denominador x+4 não é zero em x=4), podemos calcular o limite avaliando essa expressão em x=4.

Passo 6

Avaliar a expressão simplificada em x=4. Primeiro calcule o numerador e o denominador separadamente para evitar erro de conta:
x^{2}+4x+16\big|_{x=4} = 4^{2}+4\cdot 4 +16 = 16 +16 +16 = 48,
x+4\big|_{x=4} = 4+4 = 8.
Logo a fração vale \dfrac{48}{8}. Fazer a divisão à mão: 48\div 8 = 6.

Passo 7

Breve verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): aplicar a regra de L’Hôpital por ser uma indeterminação 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{derivada do numerador }= \frac{d}{dx}(x^{3}-64)=3x^{2},
\text{derivada do denominador }= \frac{d}{dx}(x^{2}-16)=2x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 4}\frac{x^{3}-64}{x^{2}-16} = \lim_{x\to 4}\frac{3x^{2}}{2x} = \lim_{x\to 4}\frac{3x}{2} = \frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6,
o que confirma o resultado obtido por fatoração.

Resposta

6

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