Pede o valor do limite quando x tende a 4 da expressão \dfrac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.
A expressão dada é \dfrac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.
A pergunta é apenas uma: calcular \displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^{3}-64}{x^{2}-16}.
Passo 2
Tentativa direta de substituição (sempre é o primeiro teste simples): calcular a forma da fração ao substituir x=4.
x^{3}-64\big|_{x=4}=4^{3}-64=64-64=0,
x^{2}-16\big|_{x=4}=4^{2}-16=16-16=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos manipular a expressão algebraicamente (ou usar outro método) antes de avaliar o limite.
Passo 3
Lembrete de fórmulas úteis (muito úteis para este tipo de limite):
Diferença de cubos: para quaisquer a e b,
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}).
Diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)\,(a+b).
Essas fórmulas servem para fatorar numerador e denominador e, possivelmente, cancelar um fator comum que causa a indeterminação.
Passo 4
Aplicar as fatorações ao numerador e ao denominador usando a=x e b=4 (porque 64=4^{3} e 16=4^{2}).
Fatorando o numerador por diferença de cubos:
x^{3}-64 = x^{3}-4^{3} = (x-4)\,(x^{2}+4x+16).
Fatorando o denominador por diferença de quadrados:
Observação didática: o limite quando x\to 4 depende apenas do comportamento da função para x próximos de 4, não do valor no próprio x=4. Mesmo que a expressão original esteja indefinida em x=4 (pois dava 0/0), a expressão simplificada é igual à original para todos os x próximos de 4 diferentes de 4. Como a expressão simplificada é contínua em x=4 (o denominador x+4 não é zero em x=4), podemos calcular o limite avaliando essa expressão em x=4.
Passo 6
Avaliar a expressão simplificada em x=4. Primeiro calcule o numerador e o denominador separadamente para evitar erro de conta:
Logo a fração vale \dfrac{48}{8}. Fazer a divisão à mão: 48\div 8 = 6.
Passo 7
Breve verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): aplicar a regra de L’Hôpital por ser uma indeterminação 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{derivada do numerador }= \frac{d}{dx}(x^{3}-64)=3x^{2},
\text{derivada do denominador }= \frac{d}{dx}(x^{2}-16)=2x.