Calculando as integrais I1=integral1^2 x^2 d x, I2=integral1^2 x d x e I3=integral1^2 d x, obtemos I1=7 / 3, I2=3 / 2 e I3=1. Usando esses resultados, encontrar o valor de:
a) integral1^2(6 x-1) d x
b) integral1^2 2 x(x+1) d x
c) integral1^2(x-1)(x-2) d x
d) integral1^2(3 x+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo de integrais definidas. A questão nos dá três integrais básicas I1 = integral1^2 x^2 dx = 73 , I2 = integral1^2 x dx = 32 e I3 = integral1^2 dx = 1 . Vamos usar esses resultados para calcular quatro novas integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades das integrais, como a linearidade e a distribuição da multiplicação.

Passo 2

a) integral1^2(6x - 1) dx
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes usando a propriedade da linearidade:
integral1^2(6x - 1) dx = 6 integral1^2 x dx - integral1^2 1 dx
Sabemos que integral1^2 x dx = I2 = 32 e integral1^2 dx = I3 = 1 . Substituindo:
6 times 32 - 1 = 9 - 1 = 8

Passo 3

b) integral1^2 2x(x + 1) dx
Vamos primeiro expandir a expressão dentro da integral:
2x(x + 1) = 2x^2 + 2x
Agora, a integral fica:
integral1^2 (2x^2 + 2x) dx = 2 integral1^2 x^2 dx + 2 integral1^2 x dx
Usando I1 = 73 e I2 = 32 :
2 times 73 + 2 times 32 = 143 + 3 = 233

Passo 4

c) integral1^2 (x - 1)(x - 2) dx
Primeiro, vamos expandir o produto:
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2
Então, a integral fica:
integral1^2 (x^2 - 3x + 2) dx = integral1^2 x^2 dx - 3 integral1^2 x dx + 2 integral1^2 dx
Substituindo pelos valores de I1 , I2 e I3 :
73 - 3 times 32 + 2 times 1 = 73 - 92 + 2 = 146 - 276 + 126 = -16

Passo 5

d) integral1^2 (3x + 2)^2 dx
Vamos expandir o quadrado:
(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4
Agora, a integral fica:
integral1^2 (9x^2 + 12x + 4) dx = 9 integral1^2 x^2 dx + 12 integral1^2 x dx + 4 integral1^2 dx
Usando I1 , I2 e I3 :
9 times 73 + 12 times 32 + 4 times 1 = 21 + 18 + 4 = 43

Resposta

a) integral1^2(6x - 1) dx = 8
b) integral1^2 2x(x + 1) dx = 233
c) integral1^2 (x - 1)(x - 2) dx = -16
d) integral1^2 (3x + 2)^2 dx = 43

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