Calculando o rotacional encontre quais das seguintes forças são conservativas:
F=r y z+J z x+k x y

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=lang<=,yz,;zx,;xyrang<=
e pede para identificar quais desses campos são conservativos. O teste padrão é calcular o rotacional
nablatimesF
e verificar se ele é o vetor nulo em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Escrevemos as componentes de F como
Fx=yz, Fy=zx, Fz=xy
O rotacional em coordenadas cartesianas é
nablatimesF =l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,; partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,; partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)

Passo 3

Calculamos cada componente:
  1. Componente i:
partial Fzpartial y =partialpartial y(xy)=x, partial Fypartial z =partialpartial z(zx)=x,
logo
(nablatimesF)x =x-x=0
  1. Componente j:
partial Fxpartial z =partialpartial z(yz)=y, partial Fzpartial x =partialpartial x(xy)=y,
logo
(nablatimesF)y =y-y=0
  1. Componente k:
partial Fypartial x =partialpartial x(zx)=z, partial Fxpartial y =partialpartial y(yz)=z,
logo
(nablatimesF)z =z-z=0

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos
nablatimesF=lang<=0,0,0rang<=
Em um domínio simplesmente conexo isso implica que F é conservativo.

Resposta

O campo dado F(x,y,z)=lang<= yz,;zx,;xyrang<= é conservativo, pois nablatimesF=0.

Exercícios relacionados